A área de uma região limitada D \subset \mathbb{R}^{2} é calculada por
\operatorname{Área}(D)=\iint_{D} 1 d A
Calcule a área de D quando:
D é a região limitada pelas parábolas y=2 x^{2} e y=1+x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D em \mathbb{R}^2 limitada pelas parábolas
y = 2x^2
e
y = 1 + x^2.
Como a fórmula geral para a área é
\text{Área}(D)=\iint_{D}1\,dA,Á
vamos descrever D usando integração em x e y.

Passo 2

Primeiro achamos onde as duas curvas se intersectam, resolvendo
2x^2 = 1 + x^2
\implies x^2 = 1
\implies x = \pm 1.

Passo 3

Para x entre -1 e 1, comparando 2x^2 e 1+x^2 vemos que
2x^2 \le 1 + x^2,
logo em cada x\in[-1,1] o trecho vertical vai de y_{\text{inferior}}=2x^2 até y_{\text{superior}}=1+x^2.

Passo 4

A área fica então
\text{Área}(D) =\int_{x=-1}^{1}\int_{y=2x^2}^{\,1+x^2}1\,dy\,dx =\int_{-1}^{1}\bigl[(1+x^2)-2x^2\bigr]\,dx =\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,dx.Á

Passo 5

Calculamos
\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,dx =\Bigl[x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =\bigl(1-\tfrac{1}{3}\bigr)-\bigl(-1+\tfrac{1}{3}\bigr) =\tfrac{2}{3}+\tfrac{2}{3} =\tfrac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{4}{3}

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