a) (Questão obrigatória - escolho a) para resolver)
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+9}} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+9}}.
  • Quer-se achar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: observar a estrutura da expressão. Dentro da raiz aparece x^{2}+9 e no numerador está x^{3}=x\cdot x^{2}. Isso sugere a substituição por u=x^{2}+9, pois então du traz um fator x\,dx que aparece na integral. A ideia é transformar tudo em termos de u para aplicar regras simples de potência.
Lembrete da regra de substituição simples:
  • Se u=g(x) então du=g'(x)\,dx. Substitui-se dx por du/g'(x) e reescreve-se toda a integral em u.

Passo 3

Fazer a substituição. Definir
u = x^{2}+9.
Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{2}.
Além disso,
x^{2}=u-9
e
\sqrt{x^{2}+9}=\sqrt{u}=u^{1/2}.
Agora reescrevemos o integrando usando x^{3}=x^{2}\cdot x:
\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx=\frac{x^{2}\cdot x}{\sqrt{u}}\,dx=\frac{(u-9)\cdot x}{u^{1/2}}\,dx.
Substituindo x\,dx=\dfrac{du}{2} obtemos
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx = \int \frac{(u-9)}{u^{1/2}}\cdot\frac{du}{2}.

Passo 4

Simplificar a integral em u:
\int \frac{(u-9)}{u^{1/2}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \bigl(u^{1/2}-9u^{-1/2}\bigr)\,du.
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando termo a termo:
  • Para u^{1/2}: \displaystyle \int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
  • Para 9u^{-1/2}: \displaystyle \int 9u^{-1/2}\,du=9\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2}=9\cdot 2u^{1/2}=18u^{1/2}.
Portanto
\frac{1}{2}\int \bigl(u^{1/2}-9u^{-1/2}\bigr)\,du =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}u^{3/2}-18u^{1/2}\right)+C.
Simplificando os coeficientes:
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}u^{3/2}-18u^{1/2}\right) =\frac{1}{3}u^{3/2}-9u^{1/2}+C.

Passo 5

Voltar para a variável x com u=x^{2}+9. Substituindo:
\frac{1}{3}u^{3/2}-9u^{1/2}+C =\frac{1}{3}\bigl(x^{2}+9\bigr)^{3/2}-9\bigl(x^{2}+9\bigr)^{1/2}+C.
Opcional (forma fatorada, só para ver outra aparência):
\bigl(x^{2}+9\bigr)^{1/2}\!\left(\frac{1}{3}(x^{2}+9)-9\right) =\bigl(x^{2}+9\bigr)^{1/2}\!\left(\frac{1}{3}x^{2}-6\right),
que é equivalente à resposta anterior.

Passo 6

Verificação rápida (diferenciação) — para ganhar confiança: derivando
F(x)=\frac{1}{3}\bigl(x^{2}+9\bigr)^{3/2}-9\bigl(x^{2}+9\bigr)^{1/2}
usa-se a regra da cadeia:
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\bigl(x^{2}+9\bigr)^{1/2}\cdot 2x -9\cdot\frac{1}{2}\bigl(x^{2}+9\bigr)^{-1/2}\cdot 2x.
Simplificando:
F'(x)=x\bigl(x^{2}+9\bigr)^{1/2}-9x\bigl(x^{2}+9\bigr)^{-1/2} = x\frac{(x^{2}+9)-9}{\bigl(x^{2}+9\bigr)^{1/2}} =\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+9}},
que é exatamente o integrando. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(x^{2}+9\bigr)^{3/2}-9\bigl(x^{2}+9\bigr)^{1/2}+C

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