a) (Questão obrigatória - escolho a) para resolver)
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Quer-se achar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: observar a estrutura da expressão. Dentro da raiz aparece
e no numerador está
. Isso sugere a substituição por
, pois então
traz um fator
que aparece na integral. A ideia é transformar tudo em termos de
para aplicar regras simples de potência.
Lembrete da regra de substituição simples:
- Se
então . Substitui-se por e reescreve-se toda a integral em .
Passo 3
Fazer a substituição. Definir
Então
Além disso,
e
Agora reescrevemos o integrando usando
:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Simplificar a integral em
:
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para
,
Aplicando termo a termo:
- Para
: - Para
:
Portanto
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Voltar para a variável
com
. Substituindo:
Opcional (forma fatorada, só para ver outra aparência):
que é equivalente à resposta anterior.
Passo 6
Verificação rápida (diferenciação) — para ganhar confiança: derivando
usa-se a regra da cadeia:
Simplificando:
que é exatamente o integrando. Isso confirma que a primitiva está correta.