A área da região do primeiro quadrante, limitada pelas curvas
e
vale
u.a.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região que está no primeiro quadrante do plano cartesiano, ou seja, onde x e y são positivos. Essa região é limitada pelas curvas
,
e pela linha
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as curvas para visualizar melhor a região que estamos analisando. A curva
é uma linha reta que intercepta os eixos em (1,0) e (0,1). A curva
é uma parábola que abre para a direita, com vértice em (1,0). A linha
é uma linha horizontal que corta o eixo y no ponto (0,1).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Vamos resolver o sistema de equações para
e
:
Então,
ou
. Como estamos no primeiro quadrante, desconsideramos
, então o ponto de interseção é
. Substituindo
em
, temos
.
Passo 4
Além disso, temos a linha
. Vamos ver onde essa linha intercepta as outras curvas:
Para
:
Então, o ponto de interseção é (0,1).
Para
:
Então, o ponto de interseção é (2,1).
Passo 5
Agora, sabemos que a região que queremos calcular vai de
até
. Para cada valor de y nesse intervalo, o limite esquerdo da região é dado por
e o limite direito é dado por
.
Passo 6
A área
pode ser calculada integrando a diferença entre as funções que define os limites direito e esquerdo da região em relação a y, de 0 a 1:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região é
unidades de área.