A área da região do primeiro quadrante, limitada pelas curvas x+y=1, x=1+y^2 e y=1 vale
52 u.a.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região que está no primeiro quadrante do plano cartesiano, ou seja, onde x e y são positivos. Essa região é limitada pelas curvas x + y = 1, x = 1 + y^2 e pela linha y = 1. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as curvas para visualizar melhor a região que estamos analisando. A curva x + y = 1 é uma linha reta que intercepta os eixos em (1,0) e (0,1). A curva x = 1 + y^2 é uma parábola que abre para a direita, com vértice em (1,0). A linha y = 1 é uma linha horizontal que corta o eixo y no ponto (0,1).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Vamos resolver o sistema de equações para x + y = 1 e x = 1 + y^2:
1 + y^2 + y = 1 implies y^2 + y = 0 implies y(y + 1) = 0
Então, y = 0 ou y = -1. Como estamos no primeiro quadrante, desconsideramos y = -1, então o ponto de interseção é y = 0. Substituindo y = 0 em x = 1 + y^2, temos x = 1.

Passo 4

Além disso, temos a linha y = 1. Vamos ver onde essa linha intercepta as outras curvas:
Para x + y = 1:
x + 1 = 1 implies x = 0
Então, o ponto de interseção é (0,1).
Para x = 1 + y^2:
x = 1 + (1)^2 = 2
Então, o ponto de interseção é (2,1).

Passo 5

Agora, sabemos que a região que queremos calcular vai de y = 0 até y = 1. Para cada valor de y nesse intervalo, o limite esquerdo da região é dado por x = 1 + y^2 e o limite direito é dado por x + y = 1 implies x = 1 - y.

Passo 6

A área A pode ser calculada integrando a diferença entre as funções que define os limites direito e esquerdo da região em relação a y, de 0 a 1:
A = integral0^1 [(1 - y) - (1 + y^2)] , dy

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(1 - y) - (1 + y^2) = 1 - y - 1 - y^2 = -y - y^2
Então, a integral fica:
A = integral0^1 (-y - y^2) , dy

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
A = integral0^1 (-y - y^2) , dy = [ -y^22 - y^33 ]0^1
Substituindo os limites:
A = ( -12 - 13 ) - ( 0 - 0 ) = -12 - 13 = -56
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
A = 56 ua

Resposta

A área da região é 56 unidades de área.

Exercícios relacionados