Escreva em coordenadas polares a integral dupla da função
sobre a região
, do primeiro quadrante, limitada pelas retas
e pela circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para reescrever uma integral dupla em coordenadas polares. A função que estamos integrando é
e a área de integração
está no primeiro quadrante, limitada pelas retas
,
e pela circunferência
. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e como ajustar os limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para polares
. As relações são:
Além disso, o diferencial de área
em coordenadas polares vira
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
em coordenadas polares:
Então, a função na integral dupla fica
.
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração para
e
. A região
está no primeiro quadrante, então
varia de
a
.
Vamos analisar as fronteiras:
- A circunferência
se transforma em . - A reta
em polares é , ou seja, .
Portanto, para cada
,
varia de
até
. Contudo, precisamos verificar onde essas duas curvas se encontram para ajustar os limites de
. Igualando
, encontramos
. Então,
varia de
a
.
Passo 5
Com tudo isso, podemos montar a integral dupla em coordenadas polares:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 6
Então, resumindo, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Resposta
A integral dupla em coordenadas polares é