Escreva em coordenadas polares a integral dupla da função
f(x, y)=x^2raizx^2+y^2
sobre a região D, do primeiro quadrante, limitada pelas retas x=0, y=1 e pela circunferência x^2+y^2=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para reescrever uma integral dupla em coordenadas polares. A função que estamos integrando é f(x, y) = x^2raizx^2+y^2 e a área de integração D está no primeiro quadrante, limitada pelas retas x = 0 , y = 1 e pela circunferência x^2 + y^2 = 2 . Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e como ajustar os limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta) . As relações são:
x = r cos(theta), y = r sin(theta), e raizx^2 + y^2 = r
Além disso, o diferencial de área dx,dy em coordenadas polares vira r,dr,dtheta .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função f(x, y) em coordenadas polares:
f(x, y) = x^2raizx^2+y^2 = (r cos(theta))^2r = r cos^2(theta)
Então, a função na integral dupla fica f(r, theta) = r cos^2(theta) .

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração para r e theta . A região D está no primeiro quadrante, então theta varia de 0 a pi2 .
Vamos analisar as fronteiras:
  • A circunferência x^2 + y^2 = 2 se transforma em r = raiz2 .
  • A reta y = 1 em polares é r sin(theta) = 1 , ou seja, r = 1sin(theta) .
Portanto, para cada theta , r varia de 1sin(theta) até raiz2 . Contudo, precisamos verificar onde essas duas curvas se encontram para ajustar os limites de theta . Igualando 1sin(theta) = raiz2 , encontramos theta = pi4 . Então, theta varia de pi4 a pi2 .

Passo 5

Com tudo isso, podemos montar a integral dupla em coordenadas polares:
integraltheta = pi4^pi2 integralr = 1sin(theta)^raiz2 f(r, theta) cdot r , dr , dtheta
Substituindo f(r, theta) pela expressão que encontramos:
integralpi4^pi2 integral1sin(theta)^raiz2 r cos^2(theta) cdot r , dr , dtheta = integralpi4^pi2 integral1sin(theta)^raiz2 r^2 cos^2(theta) , dr , dtheta

Passo 6

Então, resumindo, a integral dupla em coordenadas polares fica:
integralpi4^pi2 integral1sin(theta)^raiz2 r^2 cos^2(theta) , dr , dtheta

Resposta

A integral dupla em coordenadas polares é
integralpi4^pi2 integral1sin(theta)^raiz2 r^2 cos^2(theta) , dr , dtheta

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