Para cada item abaixo, calcule o valor da integral.
integral0^1 integral0^x e^y^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral0^xe^y^2,dy,dx
O conteúdo principal aqui é troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e depois uso de substituição para a parte que der para resolver em termos elementares.

Passo 2

Vamos reinterpretar a região de integração no plano (x,y). Temos
0 <= y <= x <= 1,
ou seja, para cada y entre 0 e 1, x varia de y até 1. Assim trocamos a ordem de integração:
integral0^1integral0^xe^y^2,dy,dx = integral0^1integraly^1e^y^2,dx,dy

Passo 3

Agora integramos primeiro em x, tratando y como constante:
integraly^1e^y^2,dx = e^y^2 integraly^1dx = e^y^2,(1 - y)
Portanto a integral fica
integral0^1(1 - y),e^y^2,dy

Passo 4

Separamos em duas integrais mais simples:
integral0^1(1 - y),e^y^2,dy = integral0^1e^y^2,dy ;-; integral0^1y,e^y^2,dy

Passo 5

Para a segunda integral usamos a substituição t = y^2, logo dt = 2y,dy, isto é y,dy = tfrac12,dt. Quando y vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1. Então
integral0^1y,e^y^2,dy = 12 integral0^1e^t,dt = 12l[e^tr]0^1 = 12,(e - 1)

Passo 6

A primeira integral

não tem primitiva elementar em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la pela função erro imaginária , lembrando que
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Resposta

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