Para cada item abaixo, calcule o valor da integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
O conteúdo principal aqui é troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e depois uso de substituição para a parte que der para resolver em termos elementares.
Passo 2
Vamos reinterpretar a região de integração no plano
. Temos
ou seja, para cada
entre
e
,
varia de
até
. Assim trocamos a ordem de integração:
Passo 3
Agora integramos primeiro em
, tratando
como constante:
Portanto a integral fica
Passo 4
Separamos em duas integrais mais simples:
Passo 5
Para a segunda integral usamos a substituição
, logo
, isto é
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Então
Passo 6
A primeira integral
não tem primitiva elementar em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la pela função erro imaginária , lembrando que
não tem primitiva elementar em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la pela função erro imaginária , lembrando que
Logo