Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
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Mostre que as soluções não triviais
das seguintes equações
(a)
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Mostre que as soluções não triviais
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema é da área de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da nossa equação diferencial. Substituímos
por
,
por
e
por 1, ficando:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Calculando as raízes:
Passo 5
Com as raízes reais e distintas
e
, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.
Resposta
A solução geral não trivial da equação
é: