Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
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Mostre que as soluções não triviais y(t) das seguintes equações
(a) 6 y^prime prime-7 y^prime+2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial 6 y'' - 7 y' + 2 y = 0. Esse tipo de problema é da área de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da nossa equação diferencial. Substituímos y'' por r^2, y' por r e y por 1, ficando:
6 r^2 - 7 r + 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática 6 r^2 - 7 r + 2 = 0 para encontrar os valores de r. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 cdot 6 cdot 22 cdot 6
r = 7 pm raiz49 - 4812
r = 7 pm 112

Passo 4

Calculando as raízes:
r1 = 7 + 112 = 812 = 23
r2 = 7 - 112 = 612 = 12

Passo 5

Com as raízes reais e distintas r1 = 23 e r2 = 12, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^23 t + C2 e^12 t
onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral não trivial da equação 6 y'' - 7 y' + 2 y = 0 é:
y(t) = C1 e^23 t + C2 e^12 t

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