Sendo
, calcule a integral tripla
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
no conjunto
ou seja, a “casca” esférica entre raios
e
na metade superior (
). Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com
,
medido a partir do eixo
e
no plano
. O elemento de volume é
Como
, temos
,
e
.
Passo 3
Substituindo
e o Jacobiano, a integral vira
Podemos separar as variáveis:
Passo 4
Calculamos cada parte:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 5
Multiplicando os resultados: