Sendo B=(x, y, z) in R^3 mid 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4, z >= 0, calcule a integral tripla integralegral duplaB z d V.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaB z,dV
no conjunto
B = (x,y,z)inR^3 mid 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4,;z>=0,
ou seja, a “casca” esférica entre raios 1 e 2 na metade superior ( z>=0). Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rhosinvarphicostheta, y = rhosinvarphisintheta, z = rhocosvarphi,
com rho>=0, varphi medido a partir do eixo z e theta no plano xy. O elemento de volume é
dV = rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
Como z>=0, temos varphiin[0,tfracpi2], rhoin[1,2] e thetain[0,2pi].

Passo 3

Substituindo z=rhocosvarphi e o Jacobiano, a integral vira
integral triplaB z,dV = integraltheta=0^2piintegralvarphi=0^pi/2integralrho=1^2 (rhocosvarphi),l(rho^2sinvarphir),drho,dvarphi,dtheta
Podemos separar as variáveis:
integral0^2pidtheta;times;integral0^pi/2l(cosvarphisinvarphir)dvarphi;times;integral1^2rho^3,drho

Passo 4

Calculamos cada parte:
  1. Integral em theta:
integral0^2pidtheta = 2pi
  1. Integral em varphi:
integral0^pi/2sinvarphicosvarphi,dvarphi =tfrac12integral0^pi/2sin(2varphi),dvarphi =tfrac12l[(-tfrac12)cos(2varphi)r]0^pi/2 =tfrac12cdot1 =tfrac12
  1. Integral em rho:
integral1^2rho^3,drho =[rho^44]1^2 =164-14 =154

Passo 5

Multiplicando os resultados:
2pi times tfrac12 times 154 = pi times 154 = 15pi4

Resposta

15pi4

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