A área da região do primeiro quadrante, limitada pelas curvas x+y=1, x=1+y^2 e y=1 vale
72 u.a.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região do primeiro quadrante (isto é, x>=0, y>=0) limitada pelas curvas
x+y=1, x=1+y^2, y=1
O conteúdo é cálculo de área por integração simples: vamos encontrar as interseções, expressar a região em coordenadas x,y e montar uma integral de uma variável.

Passo 2

Primeiro, determinamos os vértices da região:
– Interseção de x+y=1 com x=1+y^2:
1+y^2+y=1 Longrightarrow y(y+1)=0
No primeiro quadrante escolhemos y=0, dando o ponto l(1,0r).
– Interseção de x+y=1 com y=1:
x+1=1 Longrightarrow x=0,
dando l(0,1r).
– Interseção de x=1+y^2 com y=1:
x=1+1^2=2,
dando l(2,1r).

Passo 3

Para 0<= y<=1 a fronteira esquerda da região é a reta
x=1-y
(vinda de x+y=1)
e a fronteira direita é a parábola
x=1+y^2
Logo, em cada altura yin[0,1], x varia de 1-y até 1+y^2.

Passo 4

Montamos a integral da área:
Área =integraly=0^1l[(1+y^2)-(1-y)r],dy =integral0^1l(y+y^2r),dy Á
Calculamos separadamente:
integral0^1y,dy=12, integral0^1y^2,dy=13
Somando,
Área=12+13=56 Á

Resposta

56 u.a.

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