A área da região do primeiro quadrante, limitada pelas curvas x+y=1, x=1+y^2 e y=1 vale
56 u.a.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
;x+y=1,;x=1+y^2 e ;y=1.
O conteúdo aqui é usar o método de “fatias” horizontais: para cada y fixo, calcular a largura em x e integrar em y.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção dessas curvas no primeiro quadrante:
– Entre x+y=1 e y=1: substituindo y=1 em x+y=1 vem x+1=1, logo (0,1).
– Entre x=1+y^2 e y=1: substituindo y=1 em x=1+y^2 vem x=2, logo (2,1).
– Entre x+y=1 e x=1+y^2: igualando 1+y^2+y=1 y(y+1)=0, descartando y=-1, fica y=0 e daí x=1, ponto (1,0).

Passo 3

Visualizando, para cada y entre 0 e 1 a região vai de
xesq=1-y (a reta x+y=1)
até
xdir=1+y^2 (a parábola).

Passo 4

A área é então
integraly=0^1l[xdir-xesqr],dy =integral0^1l((1+y^2)-(1-y)r),dy =integral0^1(y^2+y),dy

Passo 5

Calcular a integral:
integral0^1(y^2+y),dy =[y^33+y^22]0^1 =13+12 =56

Resposta

56 u.a.

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