A área da região do primeiro quadrante, limitada pelas curvas x+y=1, x=1+y^2 e y=1 vale
172 u.a.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas x+y=1, x=1+y^2 e y=1. Para resolver, vamos:
  1. Identificar os pontos de interseção dessas curvas.
  2. Escolher uma variável para integrar (aqui faz sentido integrar em y).
  3. Expressar a área como
Área = integralymin^ymaxl(xdireita(y)-xesquerda(y)r),dy Á

Passo 2

Encontrando interseções:
  1. x+y=1 com x=1+y^2: 1+y^2+y=1;Longrightarrow;y(y+1)=0;Longrightarrow;y=0 (descartamos y=-1) Então o ponto é l(1,0r).
  2. x+y=1 com y=1: substituindo y=1 x=0, ponto l(0,1r).
  3. x=1+y^2 com y=1: substituindo dá x=1+1^2=2, ponto l(2,1r).
Logo os vértices da região são (1,0), (0,1) e (2,1).

Passo 3

Para y variando de 0 até 1, a fronteira esquerda é dada pela reta
xesq(y)=1-y
e a fronteira direita pela parábola
xdir(y)=1+y^2
Portanto
Área=integral0^1l[(1+y^2)-(1-y)r],dy =integral0^1l(y+y^2r),dy Á

Passo 4

Calculando a integral:
integral0^1l(y+y^2r),dy =integral0^1y,dy+integral0^1y^2,dy =l[tfracy^22r]0^1+l[tfracy^33r]0^1 =tfrac12+tfrac13 =tfrac56

Resposta

A área da região vale 56 unidades de área.

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