Calcule o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e o plano z=x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (isto é, x>=0, y>=0, z>=0), limitado lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1 e superiormente pelo plano z=x. O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla, que podemos transformar em uma integração dupla na projeção sobre o plano xy, usando que a altura do sólido em cada ponto (x,y) é zsup-zinf=x-0.

Passo 2

Projetamos o sólido no plano xy. A projeção D é o quarto de disco
D = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<=1
O volume fica
V = integral duplaD l(zsup-zinfr),dA = integral duplaD x,dA

Passo 3

Para facilitar, usamos coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
com rin[0,1] e thetain[0,pi/2].

Passo 4

Substituindo na integral, temos
V = integraltheta=0^pi/2integralr=0^1 l(rcosthetar),r,dr,dtheta = integral0^pi/2costheta(integral0^1r^2,dr)dtheta
Como
integral0^1r^2,dr = tfrac13,
segue
V = tfrac13integral0^pi/2costheta,dtheta = tfrac13l[sinthetar]0^pi/2 = tfrac13cdot1

Resposta

V = 13

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