Calcule o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (isto é,
,
,
), limitado lateralmente pelo cilindro
e superiormente pelo plano
. O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla, que podemos transformar em uma integração dupla na projeção sobre o plano
, usando que a altura do sólido em cada ponto
é
.
Passo 2
Projetamos o sólido no plano
. A projeção
é o quarto de disco
O volume fica
Passo 3
Para facilitar, usamos coordenadas polares:
com
e
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos
Como
segue