Para cada item, calcule o valor da integral.
integralR integral raizx^2+y^2 d x d y, onde R=(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaRraizx^2+y^2;dx,dy,
onde
R=(x,y)inR^2mid 1<= x^2+y^2<=4
O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares, aproveitando a simetria circular da região, e o uso do Jacobiano.

Passo 2

Fazemos a troca para coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e thetain[0,2pi]. Nesse caso:
  1. raizx^2+y^2 = r.
  2. dx,dy = r,dr,dtheta.
  3. A região R vira
1 <= r^2 <= 4 Longrightarrow 1 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral duplaRraizx^2+y^2;dx,dy = integraltheta=0^2piintegralr=1^2 l(rr),l(r,dr,dthetar) = integral0^2piintegral1^2 r^2,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral1^2 r^2,dr = [r^33]1^2 = 83-13 = 73
Em seguida, integramos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 5

Multiplicando os resultados:
integral duplaRraizx^2+y^2,dx,dy = 73times 2pi = 14pi3

Resposta

14pi3

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