Utilizando o método de separação de variáveis, resolva a equação diferencial proposta.
y' = x^2 / y;

Passo 1

Beleza! Você tem a equação diferencial . Vamos resolver essa equação usando o método de separação de variáveis, que faz parte das equações diferenciais. Esse método ajuda a separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar de . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Sabemos que é a derivada de em relação a , ou seja, . Substituindo isso na equação:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e para lados opostos da equação. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Dessa forma, conseguimos isolar todas as expressões que envolvem de um lado e as que envolvem do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então, temos:

Passo 5

Para simplificar a expressão, podemos multiplicar todos os termos por 2:
Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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