6- Qual a área sobre a curva \sqrt[3]{x}, entre as retas x=-5 e x=5 ? ( \mathbf{1}, \mathbf{0} Ponto)

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3} entre as retas verticais x=-5 e x=5. Para isso, calculamos a integral definida
\int_{-5}^{5}x^{1/3}\,dx.

Passo 2

Note que f(x)=x^{1/3} é uma função ímpar, pois
f(-x)=(-x)^{1/3}=-x^{1/3}=-f(x).
Para qualquer função ímpar f num intervalo simétrico [-a,a] vale
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0.
Logo, sem nem precisar de antiderivada, temos
\int_{-5}^{5}x^{1/3}\,dx=0.

Passo 3

Para confirmar por antiderivada, calculamos
\int x^{1/3}\,dx = \frac{3}{4}x^{4/3}+C.

Passo 4

Então
\int_{-5}^{5}x^{1/3}\,dx =\Bigl[\tfrac{3}{4}x^{4/3}\Bigr]_{-5}^{5} =\frac{3}{4}\bigl(5^{4/3}-(-5)^{4/3}\bigr).
Como
(-5)^{4/3}=\bigl((-5)^4\bigr)^{1/3}=625^{1/3}=5^{4/3},
seguimos que a diferença é zero.

Resposta

0

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