3-O tamanho de uma população de bactérias é dado por \mathrm{P}(\mathrm{t})=1000 e^{\sqrt{3} t} onde t é o tempo em horas (2,0 Pontos):
a) Qual é a taxa de crescimento da população no instante t=5 ?
b) A taxa de crescimento está aumentando ou diminuindo com o tempo?

Passo 1

O enunciado nos dá o tamanho de uma população de bactérias ao longo do tempo
P(t)=1000\,e^{\sqrt{3}\,t},
e pede (a) a taxa de crescimento instantânea em t=5 e (b) se essa taxa aumenta ou diminui com o tempo. Vamos usar derivadas de funções exponenciais e analisar monotonicidade.

Passo 2

Para obter a taxa de crescimento instantânea, calculamos a derivada de P(t). Como
P(t)=1000\,e^{\sqrt{3}\,t},
aplicamos a regra da cadeia: se u(t)=\sqrt{3}\,t, então
\frac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)\,e^{u(t)}.
Aqui u'(t)=\sqrt{3}. Logo,
P'(t)=1000\;\sqrt{3}\;e^{\sqrt{3}\,t}.

Passo 3

Agora avaliamos em t=5:
P'(5)=1000\,\sqrt{3}\;e^{\sqrt{3}\,5}.
Essa expressão é a taxa de crescimento em bactérias por hora no instante t=5.

Passo 4

Para saber se a taxa de crescimento está aumentando ou diminuindo, observamos P'(t)=1000\,\sqrt{3}\,e^{\sqrt{3}\,t}. Como 1000\,\sqrt{3}>0 e e^{\sqrt{3}\,t} é uma função estritamente crescente de t, temos que P'(t) cresce com t. Portanto a taxa de crescimento aumenta ao longo do tempo.

Resposta

(a) \displaystyle P'(5)=1000\,\sqrt{3}\,e^{5\sqrt{3}}.
(b) A taxa de crescimento está aumentando com o tempo.

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