3-O tamanho de uma população de bactérias é dado por
onde t é o tempo em horas (2,0 Pontos):
a) Qual é a taxa de crescimento da população no instante
?
b) A taxa de crescimento está aumentando ou diminuindo com o tempo?
a) Qual é a taxa de crescimento da população no instante
b) A taxa de crescimento está aumentando ou diminuindo com o tempo?
Passo 1
O enunciado nos dá o tamanho de uma população de bactérias ao longo do tempo
e pede (a) a taxa de crescimento instantânea em
e (b) se essa taxa aumenta ou diminui com o tempo. Vamos usar derivadas de funções exponenciais e analisar monotonicidade.
Passo 2
Para obter a taxa de crescimento instantânea, calculamos a derivada de
. Como
aplicamos a regra da cadeia: se
, então
Aqui
. Logo,
Passo 3
Agora avaliamos em
:
Essa expressão é a taxa de crescimento em bactérias por hora no instante
.
Passo 4
Para saber se a taxa de crescimento está aumentando ou diminuindo, observamos
. Como
e
é uma função estritamente crescente de
, temos que
cresce com
. Portanto a taxa de crescimento aumenta ao longo do tempo.
Resposta
(a)
.
(b) A taxa de crescimento está aumentando com o tempo.
(b) A taxa de crescimento está aumentando com o tempo.