5-Calcule a área da região delimitada pelas curvas e demonstre graficamente a localização dessa área:
e
(2,0 Pontos):
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
. Este é um problema de cálculo de área entre duas curvas: precisamos (i) encontrar os pontos de interseção, (ii) determinar qual curva está acima em cada intervalo e (iii) integrar a diferença vertical entre elas.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as funções:
Logo,
e
. Substituindo em
, obtemos os pontos
e
.
Passo 3
Para saber qual curva fica acima no intervalo
, escolhemos um ponto de teste, por exemplo
:
Como
, a reta
está acima de
para todo
entre
e
.
Passo 4
A área procurada é
Calculamos primitivando cada termo:
Portanto,
Em
:
Em
:
Subtraindo,
Passo 5
Graficamente, a região fica entre as abscissas
e
, limitada abaixo pela parábola
e acima pela reta
. Os pontos de interseção são
e
, e o “furo” do gráfico é exatamente essa área fechada entre as duas curvas.
Resposta
A área da região é
unidades de área.