5-Calcule a área da região delimitada pelas curvas e demonstre graficamente a localização dessa área: y=x^{2} e y=2 x+3 (2,0 Pontos):

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \,y = x^2 e \,y = 2x + 3. Este é um problema de cálculo de área entre duas curvas: precisamos (i) encontrar os pontos de interseção, (ii) determinar qual curva está acima em cada intervalo e (iii) integrar a diferença vertical entre elas.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as funções:
x^2 = 2x + 3
x^2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
Logo, x = -1 e x = 3. Substituindo em y = x^2, obtemos os pontos (-1,1) e (3,9).

Passo 3

Para saber qual curva fica acima no intervalo [-1,3], escolhemos um ponto de teste, por exemplo x=1:
y_{\text{parábola}} = 1^2 = 1 \quad\text{e}\quad y_{\text{reta}} = 2\cdot1 + 3 = 5á
Como 5 > 1, a reta y = 2x + 3 está acima de y = x^2 para todo x entre -1 e 3.

Passo 4

A área procurada é
\int_{x=-1}^{x=3} \bigl[(2x+3) - x^2\bigr]\,dx.
Calculamos primitivando cada termo:
\int (2x+3)\,dx = x^2 + 3x, \quad \int x^2\,dx = \tfrac{x^3}{3}.
Portanto,
\int_{-1}^{3} \bigl[(2x+3) - x^2\bigr]\,dx = \Bigl[x^2 + 3x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{-1}^{3}.
Em x=3:
3^2 + 3\cdot3 - \tfrac{3^3}{3} = 9 + 9 - 9 = 9.
Em x=-1:
(-1)^2 + 3\cdot(-1) - \tfrac{(-1)^3}{3} = 1 - 3 - \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = -2 + \tfrac{1}{3} = -\tfrac{5}{3}.
Subtraindo,
9 - \Bigl(-\tfrac{5}{3}\Bigr) = 9 + \tfrac{5}{3} = \tfrac{27}{3} + \tfrac{5}{3} = \tfrac{32}{3}.

Passo 5

Graficamente, a região fica entre as abscissas x=-1 e x=3, limitada abaixo pela parábola y=x^2 e acima pela reta y=2x+3. Os pontos de interseção são (-1,1) e (3,9), e o “furo” do gráfico é exatamente essa área fechada entre as duas curvas.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{32}{3} unidades de área.

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