Calcule
(2016-1) \lim _{x \rightarrow \pi / 3}\left(\operatorname{sen} \frac{x}{2}-\cos x+\operatorname{tg} x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \pi/3}\bigl(\sin\frac{x}{2}-\cos x+\tan x\bigr).
O conteúdo é cálculo de limite de funções trigonométricas usando continuidade em um ponto onde não há indeterminação.

Passo 2

Observamos que cada termo do integrando é contínuo em x=\pi/3:
\sin\frac{x}{2} e \cos x são contínuos em todo \mathbb{R}, e \tan x é contínuo sempre que \cos x\neq0. Em x=\pi/3, \cos(\pi/3)=\tfrac12\neq0. Logo, podemos usar a propriedade
\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
para funções contínuas.

Passo 3

Substituindo x=\pi/3 em cada termo:
\sin\frac{\pi/3}{2} = \sin\frac{\pi}{6} = \tfrac12,
\cos\frac{\pi}{3} = \tfrac12,
\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}.
Portanto,
\sin\frac{x}{2}-\cos x+\tan x\bigg|_{x=\pi/3} = \tfrac12 - \tfrac12 + \sqrt{3} = \sqrt{3}.

Resposta

\sqrt{3}

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