6- Qual a área sobre a curva \sqrt[3]{x}, entre as retas x=1 e x=3 ? ( 1,0 Ponto)

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3} no intervalo de x=1 até x=3. Isso equivale a calcular a integral definida
\int_{1}^{3} x^{1/3}\,dx.

Passo 2

Para resolver, encontramos uma primitiva de x^{1/3}. Usamos a regra de potência \int x^{n}dx = \tfrac{1}{n+1}x^{n+1}, com n=\tfrac{1}{3}. Logo,
F(x)=\int x^{1/3}dx = \frac{1}{\tfrac{1}{3}+1}\;x^{\tfrac{1}{3}+1} = \frac{1}{\tfrac{4}{3}}\;x^{4/3} = \frac{3}{4}\,x^{4/3}.

Passo 3

A área é
\int_{1}^{3} x^{1/3}dx = F(3)-F(1) = \frac{3}{4}\bigl(3^{4/3}-1^{4/3}\bigr) = \frac{3}{4}\bigl(3^{4/3}-1\bigr).

Resposta

\frac{3}{4}\bigl(3^{4/3}-1\bigr)

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