Exercício 1: (3,5 pontos) Resolva os seguintes limites justificando cada passagem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3+x)^{2}-9}{x};

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}\frac{(3+x)^{2}-9}{x}.
O conteúdo envolve manipulação algébrica (expansão de quadrado e fatoração) e aplicação de propriedades de limites para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Expandimos o quadrado e simplificamos o numerador:
(3+x)^2 = 9 + 6x + x^2
(3+x)^2 - 9 = 6x + x^2

Passo 3

Fatoramos x e simplificamos a fração:
\frac{(3+x)^2 - 9}{x} = \frac{6x + x^2}{x} = \frac{x(6 + x)}{x} = 6 + x,\quad x\neq0.

Passo 4

Aplicamos o limite na expressão simplificada usando a soma e a substituição direta:
\lim_{x\to 0}(6 + x) = 6 + 0 = 6.

Resposta

6

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