Calcule as derivadas de primeira ordem abaixo abaixo: (2,0 Pontos)
p(x)=\frac{x^{3} \ln (3 x+1)}{e^{4 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem de
p(x)=\frac{x^{3}\ln(3x+1)}{e^{4x}}.
Para isso vamos usar:
  1. a regra do quociente para \bigl(f/g\bigr)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},
  2. a regra do produto para derivar f(x)=x^3\ln(3x+1),
  3. a regra da cadeia para derivar funções compostas como \ln(3x+1) e e^{4x}.

Passo 2

Definimos f(x)=x^3\ln(3x+1). Usando produto u=x^3, v=\ln(3x+1) temos
u'(x)=3x^2, \quad v'(x)=\frac{3}{3x+1}.
Logo
f'(x)=u'v+uv' =3x^2\ln(3x+1)+x^3\frac{3}{3x+1}.

Passo 3

Definimos g(x)=e^{4x}. Aplicando a cadeia
g'(x)=4e^{4x}.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente com f e g acima,
p'(x) =\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} =\frac{\Bigl(3x^2\ln(3x+1)+\tfrac{3x^3}{3x+1}\Bigr)e^{4x} -\;x^3\ln(3x+1)\cdot4e^{4x}}{(e^{4x})^2}.

Passo 5

Fatorando e^{4x} no numerador e cancelando com parte do denominador,
p'(x) =\frac{3x^2\ln(3x+1)+\tfrac{3x^3}{3x+1}-4x^3\ln(3x+1)}{e^{4x}} =\frac{x^2(3-4x)\ln(3x+1)+\tfrac{3x^3}{3x+1}}{e^{4x}}.
Multiplicando numerador e denominador por (3x+1) chega-se à forma mais compacta:

Resposta

p'(x) =\frac{x^2(3-4x)(3x+1)\ln(3x+1)+3x^3}{(3x+1)\,e^{4x}}.

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