Calcule as derivadas de primeira ordem abaixo abaixo: (2,0 Pontos)
f(x)=\frac{\operatorname{Cos}(x+1)}{X^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função
f(x)=\frac{\cos(x+1)}{x^{2}}.
O conteúdo aqui é diferenciação de funções que são quocientes (ou produtos de x^{-2} por \cos(x+1)), usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos f como
f(x)=\cos(x+1)\,\cdot x^{-2}.
Assim identificamos duas funções: u(x)=\cos(x+1) e v(x)=x^{-2}. Vamos aplicar a regra do produto:
(fg)' = f'\,g + f\,g'.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
– Para u(x)=\cos(x+1), pela regra da cadeia,
u'(x) = -\sin(x+1)\cdot 1 = -\sin(x+1).
– Para v(x)=x^{-2}, usando potência,
v'(x) = -2\,x^{-3}.
Aplicando a regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = \bigl(-\sin(x+1)\bigr)\,x^{-2} + \cos(x+1)\,\bigl(-2\,x^{-3}\bigr).

Passo 4

Juntando os termos,
f'(x) = -\frac{\sin(x+1)}{x^{2}} \;-\;\frac{2\cos(x+1)}{x^{3}}.
Colocando em denominador comum x^{3}:
f'(x) = -\frac{x\,\sin(x+1) + 2\,\cos(x+1)}{x^{3}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{\sin(x+1)}{x^{2}} \;-\;\frac{2\cos(x+1)}{x^{3}} \quad\text{ou}\quad f'(x) = -\frac{x\,\sin(x+1) + 2\,\cos(x+1)}{x^{3}}.

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