A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis definida numa região é dada pela fórmula
Se é dada implicitamente pela equação , então
onde z=f(x, y) e partial F(x, y, z)partial z neq 0 no interior de R. Determine a área da superfície:
(a) A parte do plano 3 x+2 y+z=6 que está no primeiro octante.
(b) A parte da superficie z=x y que está dentro do cilindro x^2+y^2=1.
(c) A parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 z que está dentro do parabolóide z=x^2+y^2.
(d) A parte da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 que está dentro do cilindro x^2+y^2=a x e acima do plano x y.
Passo 1
O enunciado pede a área de várias superfícies dadas implicitamente por F(x,y,z)=0. O conteúdo aqui é a fórmula da área de uma superfície implícita: se z=f(x,y) e F(x,y,z)=0 com partial F/partial zneq0, então
A ;=;integral duplaR|nabla F(x,y,z)|l|tfracpartial Fpartial z(x,y,z)r|,dS,
onde R é a região de projeção no plano xy. A partir daí, em cada item:
Identificamos F.
Calculamos nabla F e partial F/partial z.
Determinamos a região R no plano xy.
Avaliamos a integral sobre R, muitas vezes em coordenadas polares.
Passo 2
(a) Plano 3x+2y+z=6.
Escolhemos
F(x,y,z)=3x+2y+z-6,
então ;Fx=3,;Fy=2,;Fz=1
e |nabla F|=raiz3^2+2^2+1^2=raiz14
A região de projeção R é o triângulo x>=0,;y>=0,;3x+2y<=6, cuja área é
então Fx=y,;Fy=x,;Fz=-1
e |nabla F|=raizx^2+y^2+1
O denominador l|Fzr|=1. A projeção é o disco x^2+y^2<=1. Em coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta),
A =integral0^2pi!integral0^1raiz1+r^2;r,dr,dtheta =2piintegral0^1rraiz1+r^2,dr