A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z=f(x, y) definida numa região R subset R^2 é dada pela fórmula
A=integral duplaR raiz1+|nabla f(x, y)|^2 d S
Se f é dada implicitamente pela equação F(x, y, z)=0, então
A=integral duplaR |nabla F(x, y, z)||partial F(x, y, z)partial z| d S
onde z=f(x, y) e partial F(x, y, z)partial z neq 0 no interior de R. Determine a área da superfície:
(a) A parte do plano 3 x+2 y+z=6 que está no primeiro octante.
(b) A parte da superficie z=x y que está dentro do cilindro x^2+y^2=1.
(c) A parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 z que está dentro do parabolóide z=x^2+y^2.
(d) A parte da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 que está dentro do cilindro x^2+y^2=a x e acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede a área de várias superfícies dadas implicitamente por F(x,y,z)=0. O conteúdo aqui é a fórmula da área de uma superfície implícita: se z=f(x,y) e F(x,y,z)=0 com partial F/partial zneq0, então
A ;=;integral duplaR|nabla F(x,y,z)|l|tfracpartial Fpartial z(x,y,z)r|,dS,
onde R é a região de projeção no plano xy. A partir daí, em cada item:
  1. Identificamos F.
  2. Calculamos nabla F e partial F/partial z.
  3. Determinamos a região R no plano xy.
  4. Avaliamos a integral sobre R, muitas vezes em coordenadas polares.

Passo 2

(a) Plano 3x+2y+z=6.
Escolhemos
F(x,y,z)=3x+2y+z-6,
então
;Fx=3,;Fy=2,;Fz=1
e
|nabla F|=raiz3^2+2^2+1^2=raiz14
A região de projeção R é o triângulo x>=0,;y>=0,;3x+2y<=6, cuja área é
Area(R)=(x-intercept)(y-intercept)2 =2cdot32=3
Logo
A=integral duplaRraiz141,dS =raiz14,Area(R) =3raiz14

Passo 3

(b) Superfície z=xy.
Escolhemos
F(x,y,z)=xy-z,
então
Fx=y,;Fy=x,;Fz=-1
e
|nabla F|=raizx^2+y^2+1
O denominador l|Fzr|=1. A projeção é o disco x^2+y^2<=1. Em coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta),
A =integral0^2pi!integral0^1raiz1+r^2;r,dr,dtheta =2piintegral0^1rraiz1+r^2,dr
Fazendo u=1+r^2, du=2r,dr, obtemos
integral0^1rraiz1+r^2,dr =13l[(1+r^2)^3/2-1r]0^1 =13l(2raiz2-1r)
Portanto
A=;2picdot13(2raiz2-1) =2pi3l(2raiz2-1r)

Passo 4

(c) Porção da esfera x^2+y^2+z^2=4z “dentro” do parábolo z=x^2+y^2.
Reescrevendo a esfera em F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4z=0, temos
Fx=2x,;Fy=2y,;Fz=2z-4, |nabla F|=2raizx^2+y^2+(z-2)^2, |Fz|=2|z-2|
Na esfera, raizx^2+y^2+(z-2)^2=2.
Escolhemos a “folha” superior que satisfaz z>= x^2+y^2, daí z-2>0 e o integrando vira
|nabla F||Fz| =2z-2 =2raiz4-(x^2+y^2)
A projeção R é o disco x^2+y^2<=3 (interseção com z=x^2+y^2 r^2=3). Em polares rin[0,raiz3], thetain[0,2pi]:
A =integral0^2pi!integral0^raiz32,rraiz4-r^2,dr,dtheta =2picdot 2integral0^raiz3rraiz4-r^2,dr
Com u=4-r^2, esse integral resulta em l[-raiz4-r^2r]0^raiz3=1. Logo
A=4picdot1=4pi

Passo 5

(d) Porção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 dentro do cilindro x^2+y^2=a x e acima do plano xy (isto é z>=0).
Definimos
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2,
logo
Fx=2x,;Fy=2y,;Fz=2z, |nabla F|=2raizx^2+y^2+z^2=2a, |Fz|=2z
O integrando é
|nabla F||Fz| =az =araiza^2-r^2,
onde r^2=x^2+y^2. A projeção no plano xy é o conjunto
;r<= acostheta,;-piover2<=theta<=piover2
Assim
A =integral-pi/2^pi/2!integral0^acostheta a,rraiza^2-r^2,dr,dtheta
O integral interno dá a(1-lvertsinthetarvert). Integrando em theta sobre [-piover2,piover2] resulta
A =a^2integral-pi/2^pi/2l(1-|sintheta|r)dtheta =a^2l(pi-2r)

Resposta

(a) 3raiz14
(b) 2pi3l(2raiz2-1r)
(c) 4pi
(d) a^2l(pi-2r)

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