Inverta a ordem de integração das seguintes integrais duplas iteradas:
(a)
;
(b)
;
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração de três integrais duplas iteradas. O que a gente faz é descrever cada região de integração no plano
usando inequações, depois trocar as variáveis internas e externas conforme o Teorema de Fubini, ajustando os limites de
e
.
Passo 2
Item (a):
A integral original é
A integral original é
A região
é
Para inverter, vemos que
varia de
até o maior valor que
atinge, ou seja
. Logo
Para cada
fixo, a condição
vira
, e ainda temos
. Assim, para
em
,
Portanto a integral invertida é
Passo 3
Item (b):
A integral original é
A integral original é
A região
satisfaz
Para inverter, isolamos
em função de
:
Além disso
. Como
só em
, concluímos
Logo a ordem invertida é
Passo 4
Item (c):
A integral original é
A integral original é
A região
é
Para inverter, da condição
obtemos
Sem esquecer
. Dependendo de
, o intervalo
encontra ou não o intervalo
:
- Se
, então e , de modo que - Se
, temos e , então
Não há região para
. Assim a integral invertida se separa em duas faixas de
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)