Inverta a ordem de integração das seguintes integrais duplas iteradas:
(a) integral0^4 integral0^y / 2 f(x, y) d x d y;
(b) integral0^1 integralx^3^x^2 f(x, y) d y d x;
(c) integral0^1 integral2 x^3 x f(x, y) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração de três integrais duplas iteradas. O que a gente faz é descrever cada região de integração no plano xy usando inequações, depois trocar as variáveis internas e externas conforme o Teorema de Fubini, ajustando os limites de x e y.

Passo 2

Item (a):
A integral original é
integral0^4!integral0^y/2f(x,y),dx,dy
A região R é
R = (x,y)mid 0<= y<= 4,;0<= x<= y/2
Para inverter, vemos que x varia de 0 até o maior valor que y/2 atinge, ou seja 2. Logo
0<= x<= 2
Para cada x fixo, a condição x<= y/2 vira y>= 2x, e ainda temos y<=4. Assim, para x em [0,2],
2x<= y<= 4
Portanto a integral invertida é
integral0^2!integral2x^4f(x,y),dy,dx

Passo 3

Item (b):
A integral original é
integral0^1!integralx^3^x^2f(x,y),dy,dx
A região R satisfaz
x^3<= y<= x^2, 0<= x<=1
Para inverter, isolamos x em função de y:
x^3<= y Longrightarrow x<= y^1/3, y<= x^2 Longrightarrow x>= y^1/2
Além disso 0<= x<=1. Como y^1/2<= y^1/3 só em 0<= y<=1, concluímos
0<= y<=1, y^1/2<= x<= y^1/3
Logo a ordem invertida é
integral0^1!integraly^1/2^y^1/3f(x,y),dx,dy

Passo 4

Item (c):
A integral original é
integral0^1!integral2x^3xf(x,y),dy,dx
A região R é
0<= x<=1, 2x<= y<= 3x
Para inverter, da condição 2x<= y<=3x obtemos
x>= y/3, x<= y/2
Sem esquecer 0<= x<=1. Dependendo de y, o intervalo [y/3,y/2] encontra ou não o intervalo [0,1]:
  • Se 0<= y<=2, então y/2<=1 e ,y/3>=0, de modo que yin[0,2], xin[y/3,y/2]
  • Se 2<= y<=3, temos y/2>=1 e y/3<=1, então yin[2,3], xin[y/3,1]
Não há região para y>3. Assim a integral invertida se separa em duas faixas de y:
integral0^2!integraly/3^y/2f(x,y),dx,dy ;+; integral2^3!integraly/3^1f(x,y),dx,dy

Resposta

(a) integral0^2integral2x^4f(x,y),dy,dx
(b) integral0^1integraly^1/2^y^1/3f(x,y),dx,dy
(c) integral0^2integraly/3^y/2f(x,y),dx,dy ;+;integral2^3integraly/3^1f(x,y),dx,dy

Exercícios relacionados