Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte da esfera x^2+y^2+z^2=16 que está entre os planos z=-2 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte da esfera x^2+y^2+z^2=16 que fica entre os planos z=-2 e z=2, usando coordenadas esféricas. Sabemos que em coordenadas esféricas
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi,
e aqui a esfera fixa rho=4.

Passo 2

Como estamos na esfera de raio 4, basta tomar rho=4. Assim a parametrização geral fica
r(varphi,theta)=l(4sinvarphicostheta,;4sinvarphisintheta,;4cosvarphir)

Passo 3

Para achar o intervalo de varphi, usamos a condição sobre z:
-2 ;<=; z=4cosvarphi ;<=; 2 Longrightarrow -tfrac12<=cosvarphi<=tfrac12
Isso dá
cosvarphi=tfrac12;Longrightarrow;varphi=arccosl(tfrac12r)=tfracpi3, cosvarphi=-tfrac12;Longrightarrow;varphi=arccosl(-tfrac12r)=tfrac2pi3
Logo varphiin[tfracpi3,,tfrac2pi3].

Passo 4

O ângulo azimutal theta percorre toda a volta em torno do eixo z, ou seja,
thetain[0,,2pi]

Resposta

Uma parametrização para a parte da esfera é
r(varphi,theta)=l(4sinvarphicostheta,;4sinvarphisintheta,;4cosvarphir),
com
varphiinl[tfracpi3,,tfrac2pi3r], thetain[0,,2pi]

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