Seja B o cilindro x^2+y^2 <= 1 e 0 <= z <= 1 e sejam sigma a fronteira de B e n é a normal que aponta para fora. Verifique que
integral duplasigma F cdot n d S=integral triplaB div(F) d x d y d z
Nos casos abaixo
l (a)* F(x, y, z)=R(x, y, z) k (b) F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j
(c) ^* F qualquer

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos o Teorema da Divergência em
B=(x,y,z)mid x^2+y^2<=1,;0<= z<=1
com fronteira sigma=partial B e normal vec n para fora. Precisamos mostrar, nos três casos dados, que
integral duplasigmavec Fcdotvec n,dS = integral triplaBdiv(vec F),dV

Passo 2

Caso (a): vec F=R(x,y,z),vec k. Aqui
divvec F=partial Rpartial z
Na superfície lateral ( x^2+y^2=1) temos vec n horizontal e vec F vertical, logo vec Fcdotvec n=0.
Nas bases:
  • z=1: vec n=vec k, então vec Fcdotvec n=R(x,y,1).
  • z=0: vec n=-vec k, então vec Fcdotvec n=-R(x,y,0).
    Assim
integral duplasigmavec Fcdotvec n,dS =integral duplax^2+y^2<=1R(x,y,1),dA -integral duplax^2+y^2<=1R(x,y,0),dA
Por outro lado,
integral triplaBpartial Rpartial z,dV =integral duplax^2+y^2<=1l[integral0^1partial Rpartial z,dzr]dA =integral duplax^2+y^2<=1l(R(x,y,1)-R(x,y,0)r),dA,
que coincide com o integral de superfície.

Passo 3

Caso (b): vec F=P,vec i+Q,vec j. Aqui
divvec F=partial Ppartial x+partial Qpartial y
Nas bases z=0 e z=1 temos vec F no plano xy e vec n=pmvec k, logo vec Fcdotvec n=0.
Na superfície lateral usamos coordenadas cilíndricas (r,theta,z) com r=1:
vec n=(costheta,sintheta,0), dS=dz,dtheta,
integral duplalateralvec Fcdotvec n,dS =integral0^2piintegral0^1l(P(1,theta,z)costheta+Q(1,theta,z)sinthetar),dz,dtheta
Por outro lado, para cada z fixo, aplicamos o Teorema de Green no disco D=x^2+y^2<=1:
integral duplaDl(partial Ppartial x+partial Qpartial yr)dA =integral0^2pil(Pcostheta+Qsinthetar),dtheta
Integramos isso em zin[0,1] para obter
integral triplaBdivvec F,dV =integral0^1l[integralD(cdots)dAr]dz =integral duplalateralvec Fcdotvec n,dS

Passo 4

Caso (c): vec F arbitrário. Escrevemos
vec F=(P,Q,R)=(P,Q,0)+(0,0,R)
e usamos linearidade da divergência e da integral de superfície para combinar os resultados dos casos (a) e (b).

Resposta

Em todos os três casos vale
integral duplasigmavec Fcdotvec n,dS =integral triplaBdiv(vec F),dV

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