Seja
o cilindro
e
e sejam
a fronteira de
e
é a normal que aponta para fora. Verifique que
Nos casos abaixo
(c)
qualquer
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos o Teorema da Divergência em
com fronteira e normal
para fora. Precisamos mostrar, nos três casos dados, que
com fronteira
Passo 2
Caso (a):
. Aqui
Na superfície lateral (
) temos
horizontal e
vertical, logo
.
Nas bases:
Nas bases:
-
: , então . -
: , então .
Assim
Por outro lado,
que coincide com o integral de superfície.
Passo 3
Caso (b):
. Aqui
Nas bases
e
temos
no plano
e
, logo
.
Na superfície lateral usamos coordenadas cilíndricas com
:
Na superfície lateral usamos coordenadas cilíndricas
Por outro lado, para cada
fixo, aplicamos o Teorema de Green no disco
:
Integramos isso em
para obter
Passo 4
Caso (c):
arbitrário. Escrevemos
e usamos linearidade da divergência e da integral de superfície para combinar os resultados dos casos (a) e (b).
e usamos linearidade da divergência e da integral de superfície para combinar os resultados dos casos (a) e (b).
Resposta
Em todos os três casos vale