Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
(a)
e
.
(b)
e
.
(a)
(b)
Passo 1
O problema pede o volume de dois sólidos em coordenadas cartesianas (que vamos tratar em coordenadas polares quando for conveniente).
Parte (a): o sólido é limitado por , pela parábola de revolução
e pela base circular
. Vamos usar o método do volume por integral dupla em coordenadas polares.
Parte (b): o sólido está acima de , abaixo do plano
e sobre a base circular
. Podemos calcular
Parte (a): o sólido é limitado por
Parte (b): o sólido está acima de
e explorar simetria para simplificar.
Passo 2
Para (a), o domínio de projeção no plano
é
O volume é
Calculando a integral interna:
logo
Passo 3
Para (b), o domínio de projeção é
Como em todo
temos
, o plano fica acima de
. Então
A primeira parte é
vezes a área do disco de raio
, que é
. A segunda parte é zero por simetria em
. Assim
Resposta
(a)
(b)
(b)