Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
(a) x^2+y^2=1, z=0 e z=x^2+y^2.
(b) z=0, x^2+y^2=16 e z=10+x.

Passo 1

O problema pede o volume de dois sólidos em coordenadas cartesianas (que vamos tratar em coordenadas polares quando for conveniente).
Parte (a): o sólido é limitado por ,z=0, pela parábola de revolução ,z=x^2+y^2 e pela base circular ,x^2+y^2=1. Vamos usar o método do volume por integral dupla em coordenadas polares.
Parte (b): o sólido está acima de ,z=0, abaixo do plano ,z=10+x e sobre a base circular ,x^2+y^2<=16. Podemos calcular
V=integral duplaD(10+x),dA
e explorar simetria para simplificar.

Passo 2

Para (a), o domínio de projeção no plano xy é
D=(r,theta)mid 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi
O volume é
Va=integral duplaD(x^2+y^2),dA =integral0^2pi!!integral0^1r^2cdot r,dr,dtheta =integral0^2pi!!integral0^1r^3,dr,dtheta
Calculando a integral interna:
integral0^1r^3,dr=14,
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Va =integral0^2pi14,dtheta =14cdot2pi =pi2

Passo 3

Para (b), o domínio de projeção é
D=(x,y)mid x^2+y^2<=16
Como em todo D temos 10+x>=10-4=6>0, o plano fica acima de z=0. Então
Vb =integral duplaD(10+x),dA =10integral duplaD1,dA+integral duplaDx,dA
A primeira parte é 10 vezes a área do disco de raio 4, que é 16pi. A segunda parte é zero por simetria em x. Assim
Vb =10cdot16pi+0 =160pi

Resposta

(a) pi2
(b) 160pi

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