A área da superfície de uma esfera de raio R é 4 * pi * R^2. Monte a integral que encontra essa área.

Passo 1

Beleza, a gente quer encontrar a área da superfície de uma esfera com raio . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração em coordenadas esféricas. Precisamos montar uma integral que calcule essa área total.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como representar todos os pontos na superfície da esfera. Usamos as coordenadas esféricas, onde cada ponto é definido por três valores: o raio (que é constante aqui), o ângulo polar (que vai de 0 a ) e o ângulo azimutal (que vai de 0 a ).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área na esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de área é dado por:
Aqui, vem do raio ao quadrado, ajusta a área para a curvatura da esfera, e são os pequenos incrementos nos ângulos.

Passo 4

Para encontrar a área total da esfera, integramos o elemento de área sobre todos os valores possíveis de e :
Á

Resposta

Depois de resolver a integral, a área da superfície da esfera é:
Á

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