A área da superfície de uma esfera de raio
é
. Monte a integral que encontra essa área.
Passo 1
Beleza, a gente quer encontrar a área da superfície de uma esfera com raio
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração em coordenadas esféricas. Precisamos montar uma integral que calcule essa área total.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como representar todos os pontos na superfície da esfera. Usamos as coordenadas esféricas, onde cada ponto é definido por três valores: o raio
(que é constante aqui), o ângulo polar
(que vai de 0 a
) e o ângulo azimutal
(que vai de 0 a
).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área na esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de área
é dado por:
Aqui,
vem do raio ao quadrado,
ajusta a área para a curvatura da esfera, e
são os pequenos incrementos nos ângulos.
Passo 4
Para encontrar a área total da esfera, integramos o elemento de área sobre todos os valores possíveis de
e
:
Resposta
Depois de resolver a integral, a área da superfície da esfera é: