Use uma integral para encontrar o volume de uma esfera de raio 3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de uma esfera de raio 3 usando uma integral. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integral definida e geometria espacial. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a esfera de raio 3 centrada na origem do nosso sistema de coordenadas. A equação dessa esfera é:
Mas para facilitar, vamos considerar apenas uma “fatinha” da esfera, cortando-a ao meio pelo eixo x. Assim, a equação fica:
Isso representa um círculo com raio
para cada valor de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em fatiar a esfera em discos infinitesimais perpendicularmente ao eixo x. Cada um desses discos tem uma área
, onde
é o raio do disco naquele ponto.
Nesse caso, o raio do disco em uma posição
é
, então a área do disco é:
Passo 4
Para encontrar o volume total da esfera, vamos integrar a área desses discos ao longo do eixo x, de
até
:
Passo 5
Porém, por causa da simetria da esfera, podemos simplificar integrando de 0 a 3 e multiplicando o resultado por 2:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Passo 7
Multiplicando pelo
, temos:
Resposta
O volume da esfera de raio 3 é
unidades cúbicas.