Use uma integral para encontrar o volume de uma esfera de raio 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de uma esfera de raio 3 usando uma integral. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integral definida e geometria espacial. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a esfera de raio 3 centrada na origem do nosso sistema de coordenadas. A equação dessa esfera é:
Mas para facilitar, vamos considerar apenas uma “fatinha” da esfera, cortando-a ao meio pelo eixo x. Assim, a equação fica:
Isso representa um círculo com raio para cada valor de .

Passo 3

Agora, vamos pensar em fatiar a esfera em discos infinitesimais perpendicularmente ao eixo x. Cada um desses discos tem uma área , onde é o raio do disco naquele ponto.
Nesse caso, o raio do disco em uma posição é , então a área do disco é:

Passo 4

Para encontrar o volume total da esfera, vamos integrar a área desses discos ao longo do eixo x, de até :

Passo 5

Porém, por causa da simetria da esfera, podemos simplificar integrando de 0 a 3 e multiplicando o resultado por 2:

Passo 6

Vamos resolver a integral:

Passo 7

Multiplicando pelo , temos:

Resposta

O volume da esfera de raio 3 é unidades cúbicas.

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