Considere o problema de valor inicial:
c) valores para
e
de forma que (1) tenha infinitas soluções;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de valor inicial com a seguinte equação diferencial:
A gente precisa encontrar valores para
e
que façam com que esse problema tenha infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e condições para existência de soluções únicas ou múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, observamos que a equação está na forma
, onde
. Para analisar a existência e unicidade das soluções, usamos o teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf, que exige que
e
sejam contínuas na vizinhança do ponto inicial
.
Passo 4
Calculamos a derivada parcial de
em rela��ão a
:
Para que tanto
quanto
sejam contínuas, precisamos que
e que
não tenha comportamentos estranhos (como singularidades).
Passo 5
Para que o problema tenha infinitas soluções, o teorema de unicidade de Picard-Lindelöf deve falhar. Isso acontece quando
ou
não são contínuas no ponto inicial. Observando nossas expressões, percebemos que
e
não são contínuas quando
.
Passo 6
Portanto, para ter infinitas soluções, devemos escolher
. Além disso, o valor de
pode ser qualquer valor real, já que o problema deixa de garantir unicidade quando
.
Resposta
Os valores que tornam o problema com infinitas soluções são
e qualquer valor de
.