Considere o problema de valor inicial:
y^2 + 2 x^3 y' = 0, y(x0) = y0
c) valores para x_0 e y0 de forma que (1) tenha infinitas soluções;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de valor inicial com a seguinte equação diferencial:
A gente precisa encontrar valores para e que façam com que esse problema tenha infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e condições para existência de soluções únicas ou múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise:
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, observamos que a equação está na forma , onde . Para analisar a existência e unicidade das soluções, usamos o teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf, que exige que e sejam contínuas na vizinhança do ponto inicial .

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de em rela��ão a :
Para que tanto quanto sejam contínuas, precisamos que e que não tenha comportamentos estranhos (como singularidades).

Passo 5

Para que o problema tenha infinitas soluções, o teorema de unicidade de Picard-Lindelöf deve falhar. Isso acontece quando ou não são contínuas no ponto inicial. Observando nossas expressões, percebemos que e não são contínuas quando .

Passo 6

Portanto, para ter infinitas soluções, devemos escolher . Além disso, o valor de pode ser qualquer valor real, já que o problema deixa de garantir unicidade quando .

Resposta

Os valores que tornam o problema com infinitas soluções são e qualquer valor de .

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