O comprimento da circunferência x^2 + y^2 = R^2 é 2 pi R. Monte a integral
0.0 correspondente ao cálculo do comprimento de arco da circunferência que está no primeiro quadrante. Neste caso, é mais fácil integrar em relação a x ou a y, ou é indiferente? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre calcular o comprimento do arco de uma circunferência no primeiro quadrante. O enunciado nos dá a equação da circunferência x^2 + y^2 = R^2 e quer que a gente monte a integral para encontrar esse comprimento de arco. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco, que faz parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva. Se tivermos uma função , o comprimento do arco entre e é dado por:
Isso significa que vamos precisar derivar a função para encontrar .

Passo 3

No nosso caso, a circunferência está limitada ao primeiro quadrante, onde x e y vão de 0 até R. A equação da circunferência pode ser rearranjada para . Vamos derivar essa função em relação a x:
Agora, substituímos essa derivada na fórmula do comprimento do arco:

Passo 4

Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Fazendo o mesmo processo integrando em relação a y, a integral resultaria na mesma expressão. Portanto, é indiferente integrar em relação a x ou a y para calcular o comprimento do arco no primeiro quadrante.

Resposta

A integral para o comprimento do arco da circunferência no primeiro quadrante é:
E é indiferente integrar em relação a x ou y nesse caso.

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