O comprimento da circunferência
é
. Monte a integral
0.0 correspondente ao cálculo do comprimento de arco da circunferência que está no primeiro quadrante. Neste caso, é mais fácil integrar em relação a
ou a
, ou é indiferente? Explique.
0.0 correspondente ao cálculo do comprimento de arco da circunferência que está no primeiro quadrante. Neste caso, é mais fácil integrar em relação a
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre calcular o comprimento do arco de uma circunferência no primeiro quadrante. O enunciado nos dá a equação da circunferência
e quer que a gente monte a integral para encontrar esse comprimento de arco. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco, que faz parte do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva. Se tivermos uma função
, o comprimento do arco entre
e
é dado por:
Isso significa que vamos precisar derivar a função para encontrar
.
Passo 3
No nosso caso, a circunferência está limitada ao primeiro quadrante, onde
e
vão de
até
. A equação da circunferência pode ser rearranjada para
. Vamos derivar essa função em relação a
:
Agora, substituímos essa derivada na fórmula do comprimento do arco:
Passo 4
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Fazendo o mesmo processo integrando em relação a
, a integral resultaria na mesma expressão. Portanto, é indiferente integrar em relação a
ou a
para calcular o comprimento do arco no primeiro quadrante.
Resposta
A integral para o comprimento do arco da circunferência no primeiro quadrante é:
E é indiferente integrar em relação a
ou
nesse caso.