A área de uma superfície S parametrizada por r(u, v) onde (u, v) in D pode ser calculada por
integral duplaS d A=integral duplaD|ru times rv| d u d v
(a) Calcule a área da superfície do cilindro circular reto de raio a e altura L.
(b) Use integral de superfície para mostrar que a área da superfície de revolução S obtida pela rotação do gráfico de y=f(x), a <= x <= b, em torno do eixo x é dado por f(x) >= 0. Suponha que .

Passo 1

O enunciado pede para usar integral de superfície via parametrização e produto vetorial para achar áreas: primeiro do cilindro de raio a e altura L, depois da superfície de revolução do gráfico y=f(x) em torno do eixo x.

Passo 2

Parametrizamos a superfície lateral do cilindro por
vec r(theta,z)=l(acostheta,,asintheta,,zr), com 0<=theta<=2pi e 0<= z<= L. Então
vec rtheta=(-asintheta,,acostheta,0),
vec rz=(0,0,1)
O produto vetorial é
vec rthetatimesvec rz=(acostheta,,asintheta,0)
e seu módulo é |vec rthetatimesvec rz|=a. Assim a área é
integral duplaSdA=integral0^2piintegral0^La,dz,dtheta=2pi aL

Passo 3

Para a superfície de revolução definimos
vec r(x,theta)=l(x,,f(x)costheta,,f(x)sinthetar), com a<= x<= b e 0<=theta<=2pi.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
vec rx=(1,,f'(x)costheta,,f'(x)sintheta),
vec rtheta=(0,,-f(x)sintheta,,f(x)costheta)
O produto vetorial dá
vec rxtimesvec rtheta=l(,f(x)costheta,f'(x),,f(x)sintheta,f'(x),,f(x)r)
e o módulo é
|vec rxtimesvec rtheta|=f(x)raiz1+l(f'(x)r)^2

Passo 5

Integrando sobre x e theta obtemos
integral duplaSdA=integral0^2piintegrala^bf(x)raiz1+l(f'(x)r)^2,dx,dtheta =2piintegrala^bf(x)raiz1+l(f'(x)r)^2,dx

Resposta

(a) A área lateral do cilindro é 2pi a L.
(b) A área da superfície de revolução é 2piintegrala^bf(x)raiz1+l(f'(x)r)^2,dx.

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