A área de uma superfície
parametrizada por
onde
pode ser calculada por
(a) Calcule a área da superfície do cilindro circular reto de raio
e altura
.
(b) Use integral de superfície para mostrar que a área da superfície de revolução
obtida pela rotação do gráfico de
, em torno do eixo
é dado por
. Suponha que
.
(b) Use integral de superfície para mostrar que a área da superfície de revolução
Passo 1
O enunciado pede para usar integral de superfície via parametrização e produto vetorial para achar áreas: primeiro do cilindro de raio a e altura L, depois da superfície de revolução do gráfico y=f(x) em torno do eixo x.
Passo 2
Parametrizamos a superfície lateral do cilindro por
O produto vetorial é
e seu módulo é
. Assim a área é
Passo 3
Para a superfície de revolução definimos
Passo 4
Calculamos as derivadas:
O produto vetorial dá
e o módulo é
Passo 5
Integrando sobre
e
obtemos
Resposta
(a) A área lateral do cilindro é
.
(b) A área da superfície de revolução é .
(b) A área da superfície de revolução é