Esboce o gráfico e calcule a área das regiões indicadas abaixo:
Região limitada pelos gráficos das funções y=x+1 e y=-x^2+2 x+3.

Passo 1

Nesse exercício vamos esboçar os gráficos das funções y = x+1 e y = -x^2 + 2x + 3 e calcular a área entre elas usando integração. Vamos precisar encontrar os pontos de intersecção e aplicar o método de área entre curvas.

Passo 2

Encontramos os pontos de intersecção resolvendo a equação
-x^2 + 2x + 3 = x + 1
que leva a
x^2 - x - 2 = 0 implies x = -1 ou x = 2
Os pontos são (-1,0) e (2,3).

Passo 3

Para determinar quem é a curva superior em [-1,2], avaliamos num ponto intermediário (por exemplo x=0): a parábola dá g(0)=3 e a reta dá f(0)=1. Logo g(x)=-x^2+2x+3 é a função de cima e f(x)=x+1 é a de baixo.

Passo 4

A área da região entre as curvas é dada por
A = integral-1^2 l[g(x) - f(x)r] ,dx = integral-1^2 l[(-x^2+2x+3) - (x+1)r] ,dx

Passo 5

Simplificando o integrando:
(-x^2+2x+3) - (x+1) = -x^2 + x + 2
Uma primitiva é
F(x) = -x^33 + x^22 + 2x
Avaliamo-la de -1 a 2.

Passo 6

Calculando:
F(2) = -83 + 2 + 4 = 103,
F(-1) = -(-1)^33 + (-1)^22 + 2(-1) = 13 + 12 - 2 = -76
Então
A = F(2) - F(-1) = 103 - l(-76r) = 276 = 92

Resposta

92

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