O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície orientada S parametrizada por r=r(u, v), onde os parâmetros (u, v) variam em uma região D, é dado por
integral duplaS F cdot d s=integral duplaD F(r(u, v)) cdot(ru times rv) d u d v
onde a parametrização está de acordo com a orientação da superfície, ou seja, ru times rv não se anula e aponta na mesma direção de n. Calcule o fluxo de F através da superfície S.
F=x^2 y^2 z k e S é o cone z=raizx^2+y^2, com 0 <= z <= R e com orientação de modo que n cdot k<0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F = x^2y^2z,vec k através da parte lateral do cone z=raizx^2+y^2, com 0<= z<= R e orientação tal que vec ncdotvec k<0. Vamos usar a fórmula do fluxo parametrizado integral duplaSvec Fcdot dvec s=integral duplaDvec F(vec r(u,v))cdot(vec rutimesvec rv),du,dv.

Passo 2

Para parametrizar o cone, introduzimos coordenadas polares no plano xy: seja rin[0,R] e thetain[0,2pi]. Definimos
vec r(r,theta)=(rcostheta,,rsintheta,,r)
pois z=r=raizx^2+y^2.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
vec rrtimesvec rtheta=(-rcostheta,,-rsintheta,,r)
k>0
O produto vetorial é
vec ncdotvec k<0
Como esse normal aponta para cima (com dvec S= -l(vec rrtimesvec rthetar),dr,dtheta=(rcostheta,,rsintheta,,-r),dr,dtheta ), invertemos o sinal para ter . Logo

Passo 4

Substituímos na integral: primeiro
vec F(vec r)=x^2y^2z,vec k=(rcostheta)^2(rsintheta)^2,r,vec k= r^5cos^2thetasin^2theta,vec k
O produto escalar com dvec S
vec Fcdot dvec S = r^5cos^2thetasin^2thetacdot(-r),dr,dtheta = -r^6cos^2thetasin^2theta,dr,dtheta

Passo 5

Agora fazemos a integral sobre r e theta:
Phi = integral0^2pi!integral0^R -r^6cos^2thetasin^2theta,dr,dtheta = -l(integral0^R r^6drr)l(integral0^2picos^2thetasin^2theta,dthetar)
Sabendo que integral0^R r^6dr=R^7/7 e integral0^2picos^2thetasin^2theta,dtheta=pi/4, obtemos
Phi = -R^77cdotpi4 = -pi R^728

Resposta

-\frac{\pi R^7}{28}

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