O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície orientada parametrizada por , onde os parâmetros variam em uma região , é dado por
onde a parametrização está de acordo com a orientação da superfície, ou seja, ru times rv não se anula e aponta na mesma direção de n. Calcule o fluxo de F através da superfície S. F=x^2 y^2 z k e S é o cone z=raizx^2+y^2, com 0 <= z <= R e com orientação de modo que n cdot k<0.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de vec F = x^2y^2z,vec k através da parte lateral do cone z=raizx^2+y^2, com 0<= z<= R e orientação tal que vec ncdotvec k<0. Vamos usar a fórmula do fluxo parametrizado integral duplaSvec Fcdot dvec s=integral duplaDvec F(vec r(u,v))cdot(vec rutimesvec rv),du,dv.
Passo 2
Para parametrizar o cone, introduzimos coordenadas polares no plano xy: seja rin[0,R] e thetain[0,2pi]. Definimos
vec r(r,theta)=(rcostheta,,rsintheta,,r)
pois z=r=raizx^2+y^2.
Passo 3
Calculamos as derivadas: vec rrtimesvec rtheta=(-rcostheta,,-rsintheta,,r)
k>0
O produto vetorial é
vec ncdotvec k<0
Como esse normal aponta para cima (com dvec S= -l(vec rrtimesvec rthetar),dr,dtheta=(rcostheta,,rsintheta,,-r),dr,dtheta ), invertemos o sinal para ter . Logo
Passo 4
Substituímos na integral: primeiro
vec F(vec r)=x^2y^2z,vec k=(rcostheta)^2(rsintheta)^2,r,vec k= r^5cos^2thetasin^2theta,vec k
O produto escalar com dvec S dá
vec Fcdot dvec S = r^5cos^2thetasin^2thetacdot(-r),dr,dtheta = -r^6cos^2thetasin^2theta,dr,dtheta