Calcule o rotacional do campo vetorial.
F=e^x i+cos (y) j+e^z^2 k.

Passo 1

O exercício pede para calcular o rotacional do campo vetorial vec F = e^x,vec i + cos(y),vec j + e^z^2,vec k. Estamos lidando com o operador rotacional em R^3 e precisaremos da definição de nabla times vec F.

Passo 2

Para calcular o rotacional, lembramos que, para um campo vec F = P,vec i + Q,vec j + R,vec k, temos a fórmula
nabla times vec F = vec i & vec j & vec k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z P & Q & R

Passo 3

Identificamos as componentes do nosso campo: P=e^x, Q=cos(y) e R=e^z^2. Aplicando a definição, cada componente do rotacional fica:
(nabla times vec F)1 = partial Rpartial y - partial Qpartial z,
(nabla times vec F)2 = partial Ppartial z - partial Rpartial x,
(nabla times vec F)3 = partial Qpartial x - partial Ppartial y

Passo 4

Agora calculamos cada derivada parcial: como R=e^z^2 não depende de y, temos partial R/partial y = 0; como Q=cos(y) não depende de z, partial Q/partial z = 0; como P=e^x não depende de z, partial P/partial z = 0; R tampouco depende de x, então partial R/partial x = 0; Q não depende de x, logo partial Q/partial x = 0; e P não depende de y, então partial P/partial y = 0. Assim, cada diferença é zero e todas as componentes do rotacional são zero.

Passo 5

Juntando tudo, concluímos que
nabla times vec F = (0,,0,,0) = vec 0

Resposta

nabla times vec F = vec 0

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