Qual a área da superfície x+z=2 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1 ?

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície S dada pelo plano
x + z = 2
que está “por baixo” do cilindro circular reto
x^{2} + y^{2} = 1.
O conteúdo aqui é área de superfície de um gráfico z = f(x,y). Para resolver, vamos usar a fórmula
\text{Área}(S) \;=\;\iint_{D}\sqrt{1 + \bigl(f_{x}\bigr)^{2} + \bigl(f_{y}\bigr)^{2}}\;dAÁ
onde D é a projeção de S no plano xy.

Passo 2

Reescrevendo o plano como gráfico, temos
z = f(x,y) \;=\;2 - x.
A projeção D de S no plano xy é justamente o disco
D: x^{2} + y^{2} \le 1.
Logo
\text{Área}(S) =\iint_{D}\sqrt{1 + (f_{x})^{2} + (f_{y})^{2}}\;dA.Á

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_{x} = \frac{\partial}{\partial x}(2 - x) = -1, \quad f_{y} = \frac{\partial}{\partial y}(2 - x) = 0.
Então o integrando vira
\sqrt{1 + (-1)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}.
Portanto
\text{Área}(S) = \iint_{D}\sqrt{2}\;dA = \sqrt{2}\,\iint_{D}dA.Á

Passo 4

O disco D tem raio 1, logo
\iint_{D}dA = \pi\,(1)^{2} = \pi.
Substituindo, obtemos
\text{Área}(S) = \sqrt{2}\,\pi = \pi\sqrt{2}.Á

Resposta

\pi\sqrt{2}

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