A 3{ }^{\text {a }} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}1 \\\ \star \\\\ -2\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}1 \\\ \star \\\\ -1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{c}1 \\\ \star \\\\ 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}1 \\\ \star \\\\ 1\end{array}\right]
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado diz que existe P invertível tal que
A = \begin{pmatrix} -6 & 4 & -4\\\\ -4 & 2 & -4\\\\ 6 & -4 & 4 \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\\\ 0 & a & 0\\\\ 0 & 0 & b \end{pmatrix} P^{-1},
com a<b. Isso significa que as colunas de P são vetores próprios de A cujos autovalores são -2, a e b. Como a<b, o terceiro autovalor (na diagonal) é b, e a terceira coluna de P é o autovetor associado a b.
Passo 2
Vamos achar os autovalores de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0.
A terceira coluna de P é um múltiplo de \bigl[1,1,-1\bigr]^T. Entre as opções dadas, só a alternativa (B) tem a terceira coordenada igual a -1:
(B) \begin{pmatrix}1\\star\\\ -1\end{pmatrix}.