Calcule o núcleo KerT e a imagem ImT da transformação abaixo:
T: ℝ3 → ℝ3, onde T(x, y, z)=(x+y ; x-z, 2 x+y-z);
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (\,x+y,\;x-z,\;2x+y-z\,).
Vamos calcular \ker T (solvendo T(x,y,z)=0) e \mathrm{Im}\,T (espaço gerado pelas colunas da matriz de T), e então usar \dim\ker T e \dim\mathrm{Im}\,T para decidir se T é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T\) na base canônica: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix},
e impomos
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
isto é, o sistema
\begin{cases} x + y = 0,\\\ x - z = 0,\\\\ 2x + y - z = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem y = -x\] e \(z = x. A terceira fica 2x + (-x) - x = 0, que é sempre satisfeita, logo não impõe nova condição.

Passo 3

Portanto
(x,y,z) = \bigl(x,\,-x,\,x\bigr) = x\,(1,-1,1),
e
\ker T = \mathrm{span}\{(1,-1,1)\}.

Passo 4

Para \mathrm{Im}\,T, observamos as colunas de A:
\mathbf{c}_1 = (1,1,2),\quad \mathbf{c}_2 = (1,0,1),\quad \mathbf{c}_3 = (0,-1,-1).
Notamos que
\mathbf{c}_3 = -\,\mathbf{c}_1 + \mathbf{c}_2,
logo as colunas geram o mesmo espaço que \{\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2\}. Assim
\mathrm{Im}\,T = \mathrm{span}\{(1,1,2),\,(1,0,1)\},
e \dim\mathrm{Im}\,T = 2.

Passo 5

Pela dimensão do núcleo temos \dim\ker T = 1>0, ou seja, T não é injetora. E como \dim\mathrm{Im}\,T = 2<3, T não é sobrejetora.

Resposta

\ker T = \mathrm{span}\{(1,-1,1)\}
\mathrm{Im}\,T = \mathrm{span}\{(1,1,2),\,(1,0,1)\}
A transformação T é nem injetora nem sobrejetora.

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