Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
pertence à imagem de
, então
é um autovetor de
.
II - Seja
uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo
cuja direção é preservada pela ação de
.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) To das são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Seja
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) To das são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá duas afirmações sobre autovetores e imagem de uma matriz
:
I – “Se pertence à imagem de
, então
é autovetor de
.”
II – “Toda matriz real de ordem ímpar (aqui ) tem algum vetor não nulo cuja direção é preservada por
.”
Vamos usar definição de autovetor ( ) e o Teorema Fundamental da Álgebra (polinômios reais de grau ímpar têm raiz real) para decidir a veracidade de cada afirmação.
I – “Se
II – “Toda matriz real de ordem ímpar (aqui
Vamos usar definição de autovetor (
Passo 2
Para I, ser autovetor significa existir
tal que
Por outro lado,
só garante que existe
com
. Em geral
não é múltiplo escalar de
.
Exemplo concreto:
Exemplo concreto:
Aqui
, mas
não é proporcional a
. Logo I é falsa.
Passo 3
Para II, o polinômio característico de
,
é de grau
com coeficientes reais. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, toda equação real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real
. Essa raiz dá um autovalor real e, portanto, existe
tal que
o que significa que
preserva a direção de
. Logo II é verdadeira.
Resposta
(C) Apenas II é verdadeira.