Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se vec{v} \neq \overrightarrow{0} pertence à imagem de A, então vec{v} é um autovetor de A.
II - Seja A_{7 \times 7} uma matriz com entradas reais. Existe necessariamente um vetor não-nulo vec{v} \in \mathbb{R}^{7} cuja direção é preservada pela ação de A.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) To das são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá duas afirmações sobre autovetores e imagem de uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n}:
I – “Se \vec v\neq\vec 0 pertence à imagem de A, então \vec v é autovetor de A.”
II – “Toda matriz real de ordem ímpar (aqui 7\times7) tem algum vetor não nulo cuja direção é preservada por A.”
Vamos usar definição de autovetor ( A\vec v=\lambda\vec v) e o Teorema Fundamental da Álgebra (polinômios reais de grau ímpar têm raiz real) para decidir a veracidade de cada afirmação.

Passo 2

Para I, ser autovetor significa existir \lambda\in\mathbb{R} tal que
A\vec v = \lambda \vec v.
Por outro lado, \vec v\in\mathrm{Im}(A) só garante que existe \vec u com A\vec u=\vec v. Em geral
A\vec v = A(A\vec u)=A^2\vec u
não é múltiplo escalar de \vec v=A\vec u.
Exemplo concreto:
A=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix}, \quad \vec v=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Aqui \vec v\in\mathrm{Im}(A)=\mathbb{R}^2, mas
A\vec v =\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}
não é proporcional a \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}. Logo I é falsa.

Passo 3

Para II, o polinômio característico de A,
p(\lambda)=\det(A-\lambda I),
é de grau 7 com coeficientes reais. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, toda equação real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real \lambda_0. Essa raiz dá um autovalor real e, portanto, existe \vec v\neq\vec0 tal que
A\vec v=\lambda_0\vec v,
o que significa que A preserva a direção de \vec v. Logo II é verdadeira.

Resposta

(C) Apenas II é verdadeira.

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