Calcule o núcleo KerT e a imagem ImT da transformação abaixo:
T: ℝ3 → ℝ3, onde T(x, y, z)=(x+y ; x+z-y, 2 x+y-z);
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 dada por
T(x,y,z) = (\,x+y,\;x+z-y,\;2x+y-z\,).
O objetivo é achar o núcleo \ker T, a imagem \Im T e, a partir daí, decidir se T é injetora, sobrejetora ou bijetora. Vamos usar teoria de sistemas lineares para \ker T e cálculo de posto (rank) para \Im T.
Passo 2
Para encontrar \ker T\), montamos o sistema homogêneo \(T(x,y,z)=(0,0,0)\). Isso equivale a
\[\begin{cases} x + y = 0,\\\ x + z - y = 0,\\\\ 2x + y - z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y = -x\]. Substituindo na segunda,
\[x + z -(-x) = 2x + z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = -2x.\]
Na terceira:
\[2x + (-x) -(-2x) = 2x - x + 2x = 3x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.\]
Logo \(x=y=z=0. Portanto
\ker T = \{(0,0,0)\}.
Passo 3
Para achar \Im T, escrevemos a matriz de T na base canônica:
Da parte anterior temos \ker T=\{0\}, o que implica que T é injetora. Além disso, \Im T=\mathbb{R}^3, logo T é sobrejetora. Sendo injetora e sobrejetora, T é bijetora.
Resposta
\ker T = \{(0,0,0)\} \Im T = \mathbb{R}^3
A transformação T é bijetora (injetora e sobrejetora).