Calcule o núcleo KerT e a imagem ImT da transformação abaixo:
T: ℝ3 → ℝ3, onde T(x, y, z)=(x+y ; x+z-y, 2 x+y-z);
Baseado nos cálculos do núcleo e imagem, classifique a transformação em: injetora, sobrejetora ou ambas as coisas (bijetora).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 dada por
T(x,y,z) = (\,x+y,\;x+z-y,\;2x+y-z\,).
O objetivo é achar o núcleo \ker T, a imagem \Im T e, a partir daí, decidir se T é injetora, sobrejetora ou bijetora. Vamos usar teoria de sistemas lineares para \ker T e cálculo de posto (rank) para \Im T.

Passo 2

Para encontrar \ker T\), montamos o sistema homogêneo \(T(x,y,z)=(0,0,0)\). Isso equivale a \[\begin{cases} x + y = 0,\\\ x + z - y = 0,\\\\ 2x + y - z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y = -x\]. Substituindo na segunda, \[x + z -(-x) = 2x + z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = -2x.\] Na terceira: \[2x + (-x) -(-2x) = 2x - x + 2x = 3x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.\] Logo \(x=y=z=0. Portanto
\ker T = \{(0,0,0)\}.

Passo 3

Para achar \Im T, escrevemos a matriz de T na base canônica:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix},
cujas colunas são os vetores geradores da imagem. Calculamos o determinante:
\det A = 1\cdot\bigl((-1)(-1)-1\cdot1\bigr) -1\cdot\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot2\bigr) +0 = 1\cdot(1-1)-1\cdot(-1-2) = 0 -1\cdot(-3) = 3\neq 0.
Como \det A\neq 0, o posto de A é 3, então
\Im T = \mathbb{R}^3.

Passo 4

Da parte anterior temos \ker T=\{0\}, o que implica que T é injetora. Além disso, \Im T=\mathbb{R}^3, logo T é sobrejetora. Sendo injetora e sobrejetora, T é bijetora.

Resposta

\ker T = \{(0,0,0)\}
\Im T = \mathbb{R}^3
A transformação T é bijetora (injetora e sobrejetora).

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