A área de um triângulo aumenta a razão de 4 cm^2 / min e sua base aumenta a razão de 1 cm / min. Encontre a razão com que a altura do triângulo varia quando a altura é 20 cm e a área é 80 cm^2.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: A área de um triângulo varia à razão tfracdAdt=4,cm^2/min e a base varia à razão tfracdbdt=1,cm/min. Queremos achar tfracdhdt quando a altura vale 20,cm e a área é 80,cm^2. Vamos usar derivadas implícitas aplicadas à fórmula da área do triângulo.

Passo 2

Determinar a base no instante dado: A fórmula da área é
A=tfrac12bh
Isolando b:
b=2Ah
Substituindo A=80,cm^2 e h=20,cm obtém-se b=8,cm.

Passo 3

Derivar implicitamente a fórmula da área: A partir de
A=tfrac12bh
derivamos em relação a t:
dAdt=tfrac12l(b,dhdt+h,dbdtr)
Reorganizando para tfracdhdt:
b,dhdt=2dAdt-hdbdt,
dhdt=2,dAdt-h,dbdtb

Passo 4

Substituir valores numéricos: tfracdAdt=4, h=20, tfracdbdt=1 e b=8. Logo
dhdt=2times4 - 20times18=8-208=-128=-tfrac32,cm/min

Resposta

-\tfrac{3}{2} cm/min

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