Use a definição de derivada para provar que:
se

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar, a partir da definição de derivada, que a função f(x)=ln⁡x tem f ′(x)=1/x. O conteúdo é derivada pelo limite do quociente incremental e vamos precisar também de propriedade de logaritmos e do limite conhecido lim_{k→0} ln(1+k)/k=1.

Passo 2

Começamos aplicando a definição de derivada. Temos
f,'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h=limhto0ln(x+h)-ln xh

Passo 3

Usamos a propriedade de logaritmos para simplificar o numerador. Como ln⁡a - ln⁡b = ln⁡(a/b), obtemos
ln(x+h)-ln x=lngl(x+hxgr)=lnl(1+hxr)

Passo 4

Fazemos a mudança de variável k = h/x. Quando h→0, k→0; e h = x·k. Substituindo na expressão do limite,
f,'(x)=limkto0ln(1+k)x,k=1xlimkto0ln(1+k)k

Passo 5

Aplicamos o limite conhecido lim_{k→0} ln(1+k)/k = 1. Logo,
f,'(x)=1xcdot1=1x

Resposta

f,’(x)=1/x

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