Use a definição de derivada para provar que:
se
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos mostrar, a partir da definição de derivada, que a função f(x)=lnx tem f ′(x)=1/x. O conteúdo é derivada pelo limite do quociente incremental e vamos precisar também de propriedade de logaritmos e do limite conhecido lim_{k→0} ln(1+k)/k=1.
Passo 2
Começamos aplicando a definição de derivada. Temos
Passo 3
Usamos a propriedade de logaritmos para simplificar o numerador. Como lna - lnb = ln(a/b), obtemos
Passo 4
Fazemos a mudança de variável k = h/x. Quando h→0, k→0; e h = x·k. Substituindo na expressão do limite,
Passo 5
Aplicamos o limite conhecido lim_{k→0} ln(1+k)/k = 1. Logo,
Resposta
f,’(x)=1/x