Uma escada de 4 m de comprimento se apóia em uma parede vertical. Se a base da escada desliza se afastando da parede com velocidade de 30 cm / s, encontre a velocidade com que a parte de cima da escada se movimenta quando a base da escada se encontra a uma distância de 2 m da parede.

Passo 1

Resumindo a questão: a escada de 4 m forma com a parede um triângulo retângulo cujos catetos são a altura y(t) e a base x(t). A base se afasta a dx/dt=0.3,m/s. Precisamos da velocidade dy/dt no instante em que x=2,m. Tema: taxas relacionadas e derivada implícita.

Passo 2

Como a escada tem comprimento fixo 4 m, vale
x^2 + y^2 = 4^2

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a t:
2xdxdt + 2ydydt = 0 que simplifica para
xdxdt + ydydt = 0

Passo 4

No instante pedido, x=2,m. Da relação
2^2 + y^2 = 16 obtemos
y = raiz12 = 2raiz3,m

Passo 5

Substituindo na equação xdxdt + ydydt = 0 com x=2, dx/dt=0.3 e y=2raiz3, temos
2cdot0.3 + 2raiz3dydt = 0

Passo 6

Isolando dydt

Resposta

-0.1raiz3,m/s

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