Suponha que sumn=0^infty an x^n converge quando x=-4 e diverge quando x=6. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
(a) sumn=0^infty an
(b) sumn=0^infty an 8^n
© sumn=0^infty an(-3)^n
(d) sumn=0^infty(-1)^n an 9^n

Passo 1

O enunciado nos dá uma série de potências sumn=0^inftyanx^n que converge em x=-4 e diverge em x=6. Vamos usar o fato de que uma série de potências converge absolutamente para |x| e diverge para |x|>R, onde R é o raio de convergência.

Passo 2

Como a série converge em x=-4, temos
|-4|=4<= R
e como diverge em x=6, vem
|6|=6>R
Portanto o raio de convergência satisfaz
4<= R<6

Passo 3

Cada série pedida é da forma sum an x^n para um certo x. Se |x|, converge; se |x|>R, diverge. Vamos classificar:
  • (a) corresponde a x=1, e como |1|=1<4<= R, converge.
  • (b) corresponde a x=8, e como |8|=8>6>R, diverge.
  • © corresponde a x=-3, e como |-3|=3<4<= R, converge.
  • (d) corresponde a x=-9, e como |-9|=9>6>R, diverge.

Resposta

(a) converge; (b) diverge; © converge; (d) diverge.

Exercícios relacionados