Use a definição de derivada para provar que:
se
Passo 1
No enunciado, queremos provar que a derivada de
é
usando a definição de derivada. Vamos aplicar o limite do quociente incremental e manipular a expressão envolvendo
até chegar ao resultado.
Passo 2
A definição de derivada diz:
Substituindo
, temos:
Passo 3
Usamos a propriedade de exponenciais
. Assim:
Passo 4
Fatorando
fora do limite, obtemos:
Resta calcular
.
Passo 5
Para encontrar
, usamos a série de Taylor de
em torno de 0:
Então:
Quando
, os termos
vão a zero, logo
.
Passo 6
Substituindo de volta, ficamos com:
Isso mostra que a derivada de
é ela mesma.
Resposta
f’(x)=e^x