Use a definição de derivada para provar que:
se

Passo 1

No enunciado, queremos provar que a derivada de f(x)=e^x é f'(x)=e^x usando a definição de derivada. Vamos aplicar o limite do quociente incremental e manipular a expressão envolvendo e^x+h até chegar ao resultado.

Passo 2

A definição de derivada diz:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Substituindo f(x)=e^x, temos:
f'(x)=limhto0e^x+h-e^xh

Passo 3

Usamos a propriedade de exponenciais e^x+h=e^xcdot e^h. Assim:
f'(x)=limhto0e^xcdot e^h-e^xh

Passo 4

Fatorando e^x fora do limite, obtemos:
f'(x)=e^xcdotlimhto0e^h-1h
Resta calcular L=limhto0(e^h-1)/h.

Passo 5

Para encontrar L, usamos a série de Taylor de e^h em torno de 0:
e^h=1+h+h^22!+cdots
Então:
e^h-1h=h+h^22!+cdotsh=1+h2!+cdots
Quando hto0, os termos h/2!,h^2/3!,dots vão a zero, logo L=1.

Passo 6

Substituindo de volta, ficamos com:
f'(x)=e^xcdot1=e^x
Isso mostra que a derivada de e^x é ela mesma.

Resposta

f’(x)=e^x

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