Qual a área do triângulo cujos vértices são (0,0,0)(8,1,7)(1,-3,3) ?
(a) \frac{\sqrt{1440}}{2}
b \sqrt{1465}
c \sqrt{1490}
(d) \frac{\sqrt{1490}}{2}
e 1440

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo cujos vértices em \mathbb R^3 são
A=(0,0,0),\quad B=(8,1,7),\quad C=(1,-3,3).
O conteúdo que vamos usar é o produto vetorial: a área de um triângulo em \mathbb R^3 é
\text{Área} = \frac12 \big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|.Á

Passo 2

Definimos os vetores
\overrightarrow{AB} = B - A = (8,1,7),
\overrightarrow{AC} = C - A = (1,-3,3).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 8 & 1 & 7\\\\ 1 & -3 & 3 \end{vmatrix} =\bigl(1\cdot3 -7\cdot(-3)\bigr)\mathbf i -\bigl(8\cdot3 -7\cdot1\bigr)\mathbf j +\bigl(8\cdot(-3)-1\cdot1\bigr)\mathbf k
=(3+21)\,\mathbf i -(24-7)\,\mathbf j +(-24-1)\,\mathbf k =(24,\,-17,\,-25).

Passo 4

Agora a norma desse vetor é
\big\|(24,\,-17,\,-25)\big\| =\sqrt{24^2 +(-17)^2 +(-25)^2} =\sqrt{576 +289 +625} =\sqrt{1490}.

Passo 5

Portanto, a área do triângulo é
\text{Área} = \frac12 \big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\| =\frac12 \sqrt{1490}Á
e, comparando com as opções, corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) \displaystyle \frac{\sqrt{1490}}{2}

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