Para as duas questões a seguir, seja E a região delimitada pela elipse dada por
\left(\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 57 & -24 \\\\ -24 & 43 \end{array}\right)\binom{x}{y}=25 \Longleftrightarrow 57 x^{2}+2 \cdot(-24) \cdot x y+43 y^{2}=25
Sabe-se que dois autovetores da matriz 2 \times 2 acima são v_{1}=(3,4) e v_{2}=(-4,3) (acredite em mim, é verdade).
Qual o valor de \int_{E}(3 x+4 y)^{2} d x \wedge d y ?
a \frac{25 \pi}{2 \sqrt{2}}
(b) \frac{25 \pi}{4 \sqrt{3}}
(c) \frac{25 \pi}{\sqrt{2}}
(d) \frac{25 \pi}{\sqrt{4}}
e \frac{5 \pi}{4 \sqrt{5}}
O conteúdo principal é a mudança para coordenadas que diagonalizam essa forma quadrática, de modo a reduzir a elipse a um círculo escalonado e simplificar a integral.
Passo 2
Como dado, vetores próprios da matriz
A = \begin{pmatrix}57 & -24\\\\ -24 & 43\end{pmatrix}
são v_{1}=(3,4) e v_{2}=(-4,3). Calculamos os autovalores: