Para as duas questões a seguir, seja E a região delimitada pela elipse dada por
\left(\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 57 & -24 \\\\ -24 & 43 \end{array}\right)\binom{x}{y}=25 \Longleftrightarrow 57 x^{2}+2 \cdot(-24) \cdot x y+43 y^{2}=25
Sabe-se que dois autovetores da matriz 2 \times 2 acima são v_{1}=(3,4) e v_{2}=(-4,3) (acredite em mim, é verdade).
Qual o valor de \int_{E}(3 x+4 y)^{2} d x \wedge d y ?
a \frac{25 \pi}{2 \sqrt{2}}
(b) \frac{25 \pi}{4 \sqrt{3}}
(c) \frac{25 \pi}{\sqrt{2}}
(d) \frac{25 \pi}{\sqrt{4}}
e \frac{5 \pi}{4 \sqrt{5}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{E}(3x+4y)^{2}\,dx\wedge dy
onde E é a elipse centrada na origem definida por
\bigl(x,y\bigr) \begin{pmatrix} 57 & -24\\\\ -24 & 43 \end{pmatrix} \binom{x}{y}\;=\;25.
O conteúdo principal é a mudança para coordenadas que diagonalizam essa forma quadrática, de modo a reduzir a elipse a um círculo escalonado e simplificar a integral.

Passo 2

Como dado, vetores próprios da matriz
A = \begin{pmatrix}57 & -24\\\\ -24 & 43\end{pmatrix}
são v_{1}=(3,4) e v_{2}=(-4,3). Calculamos os autovalores:
A\,v_{1}=(75,100)=25\,(3,4)\quad\Longrightarrow\quad \lambda_{1}=25,
A\,v_{2}=(-300,225)=75\,(-4,3)\quad\Longrightarrow\quad \lambda_{2}=75.
Como v_{1} e v_{2} são ortogonais, definimos a base ortonormal
e_{1}=\frac{1}{5}(3,4),\quad e_{2}=\frac{1}{5}(-4,3).

Passo 3

Em coordenadas (u,v) onde
(x,y)=u\,e_{1}+v\,e_{2},
a forma quadrática vira
x^{T}A\,x = \lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}=25\,u^{2}+75\,v^{2},
logo E é dado por
25\,u^{2}+75\,v^{2}\le25 \quad\Longleftrightarrow\quad u^{2}+3\,v^{2}\le1.
Além disso
3x+4y = (3,4)\cdot(u\,e_{1}+v\,e_{2}) = u\,(3,4)\cdot e_{1} + v\,(3,4)\cdot e_{2} = u\cdot5 + v\cdot0 =5\,u,
de modo que o integrando fica (3x+4y)^{2}=25\,u^{2}. A rotação não altera o Jacobiano (determinante =1).

Passo 4

Restou calcular
\int_{u^{2}+3v^{2}\le1}25\,u^{2}\,dudv =25\;\int_{u^{2}+3v^{2}\le1}u^{2}\,dudv.
Fazemos a mudança t_{1}=u,\;t_{2}=\sqrt{3}\,v, então a região vira o disco t_{1}^{2}+t_{2}^{2}\le1 e
dudv = \frac{1}{\sqrt{3}}\,dt_{1}dt_{2}.
Assim
\int_{u^{2}+3v^{2}\le1}u^{2}\,dudv =\frac{1}{\sqrt{3}} \int_{t_{1}^{2}+t_{2}^{2}\le1}t_{1}^{2}\,dt_{1}dt_{2} =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{4\sqrt{3}},
pois \int_{\text{disco unitário}}x^{2}dA=\pi/4á.

Resposta

\displaystyle \frac{25\pi}{4\sqrt{3}}

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