Para as duas questões a seguir, seja E a região delimitada pela elipse dada por
\left(\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 57 & -24 \\\\ -24 & 43 \end{array}\right)\binom{x}{y}=25 \Longleftrightarrow 57 x^{2}+2 \cdot(-24) \cdot x y+43 y^{2}=25
Sabe-se que dois autovetores da matriz 2 \times 2 acima são v_{1}=(3,4) e v_{2}=(-4,3) (acredite em mim, é verdade).
Qual a área de E ?
(a) \frac{\pi}{\sqrt{2}}
(b) \frac{\pi}{\sqrt{3}}
(c) \frac{\pi}{\sqrt{4}}
(d) \frac{\pi}{\sqrt{1}}
(e) \frac{\pi}{\sqrt{5}}

Passo 1

O enunciado define a região E pela elipse
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}57 & -24\\\ -24 & 43\end{pmatrix} \binom{x}{y}=25.
A matriz é simétrica, tem autovetores conhecidos e queremos a área de E. O conteúdo necessário é mudança de variável ortogonal (diagonalização) e a fórmula da área de uma elipse em termos do determinante da matriz associada.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
(x,y)=5\,(u,v),
de modo que a equação fique
(u,v) \begin{pmatrix}57 & -24\\\ -24 & 43\end{pmatrix} \binom{u}{v}=1.
Então E é a imagem pelo fator de escala 5 da região
\{(u,v): (u,v)A(u,v)^{T}\le1\}. Logo
\text{Área}(E)=5^{2}\times\text{Área}\bigl(\{(u,v):u^{T}Au\le1\}\bigr) =25\;\text{Área}\bigl(u^{T}Au\le1\bigr).ÁÁÁ

Passo 3

Para uma forma quadrática u^{T}Au\le1 em \mathbb R^2 com A simétrica positiva, vale
\text{Área}\bigl(u^{T}Au\le1\bigr) =\frac{\pi}{\sqrt{\det A}}.Á
Aqui
\det A =57\cdot43-(-24)^{2} =2451-576 =1875 =25^{2}\cdot3,
então \sqrt{\det A}=25\sqrt{3}.

Passo 4

Juntando tudo,
\text{Área}(E) =25\;\frac{\pi}{\sqrt{\det A}} =25\;\frac{\pi}{25\sqrt{3}} =\frac{\pi}{\sqrt{3}}.Á

Resposta

(b) \displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{3}}

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