O enunciado apresenta a equação da onda unidimensional
a^2 u_{tt} = u_{xx}
no intervalo 0 < x < \pi com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(\pi,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=\sin(5x), u_t(x,0)=0. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e a expansão em autofunções do operador espacial.
Passo 2
Procuramos soluções da forma u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo na PDE temos
a^2 X(x)\,T''(t)=X''(x)\,T(t)
e dividindo por a^2 X T introduzimos a constante de separação -\lambda, obtendo
X'' + \lambda X = 0,
a^2 T'' + \lambda T = 0.
As condições de contorno X(0)=X(\pi)=0 levam ao problema de Sturm–Liouville com autofunções