Resolva a equação diferencial abaixo.
\left\{\begin{array}{l} a^{2} u_{t t}=u_{x x} \\\ u(x, 0)=\sin (5 x) \\\ u(0, t)=u(\pi, t)=0 \\\ u_{t}(x, 0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação da onda unidimensional
a^2 u_{tt} = u_{xx}
no intervalo 0 < x < \pi com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(\pi,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=\sin(5x), u_t(x,0)=0. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e a expansão em autofunções do operador espacial.

Passo 2

Procuramos soluções da forma u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo na PDE temos
a^2 X(x)\,T''(t)=X''(x)\,T(t)
e dividindo por a^2 X T introduzimos a constante de separação -\lambda, obtendo
X'' + \lambda X = 0,
a^2 T'' + \lambda T = 0.
As condições de contorno X(0)=X(\pi)=0 levam ao problema de Sturm–Liouville com autofunções
X_n(x)=\sin(n x),\qquad \lambda_n = n^2,\quad n=1,2,\dots

Passo 3

Para cada valor n, a equação temporal é
a^2 T_n'' + n^2 T_n = 0,
cuja solução geral é
T_n(t) = A_n \cos\!\bigl(\tfrac{n}{a}t\bigr) + B_n \sin\!\bigl(\tfrac{n}{a}t\bigr).
Logo, a solução geral da PDE é
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[A_n \cos\!\bigl(\tfrac{n}{a}t\bigr) + B_n \sin\!\bigl(\tfrac{n}{a}t\bigr)\Bigr]\sin(n x).

Passo 4

Impondo u(x,0)=\sin(5x) obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}A_n \sin(n x) = \sin(5x),
que implica A_5=1 e A_n=0 para n\neq5. Da condição u_t(x,0)=0 segue
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{a}B_n \sin(n x) = 0,
logo B_n=0 para todo n.

Passo 5

Como apenas A_5=1 é não nulo, a solução reduz-se ao modo n=5:
u(x,t) = \cos\!\bigl(\tfrac{5}{a}t\bigr)\,\sin(5x).

Resposta

u(x,t) = \sin(5x)\cos\!\bigl(\tfrac{5}{a}t\bigr).

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