Considere a função periódica f(x) definida no intervalo [-\pi, \pi] por:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -1, & -\pi<x<0 \\\\ 1, & 0<x<\pi \end{array} \text { com } f(x+2 \pi)=f(x)\right.
(a) Esboce o gráfico da funçăo f(x) no intervalo [-2 \pi, 2 \pi].
(b) Determine os coeficientes da série de Fourier de f(x).
(c) Escreva a série de Fourier de f(x).
(d) Usando o Teorema de Convergência de Fourier, determine o valor da soma da série em:
x=-\pi, \quad x=0, \quad x=\frac{\pi}{2}, \quad x=\pi .
(e) Use o item anterior para provar que:
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\cdots

Passo 1

O enunciado define a função periódica f\) de período \(2\pi\) dada em \([- \pi,\pi]\) por \[f(x)= \begin{cases} -1, & -\pi < x < 0,\\\ \;\,1, & 0 < x < \pi, \end{cases}
e pede:
(a) o esboço de f\] em \([-2\pi,2\pi],
(b) os coeficientes da série de Fourier,
(c) a própria série,
(d) os valores da soma da série em x=-\pi,0,\tfrac{\pi}{2},\pi,
(e) daí provar a identidade
\displaystyle \frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots.
Conteúdo: séries de Fourier de função ímpar em intervalo simétrico, uso das fórmulas
a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx,
e Teorema de Convergência de Fourier em pontos de descontinuidade (média dos limites laterais).

Passo 2

Para esboçar f em [-2\pi,2\pi] usamos a periodicidade f(x+2\pi)=f(x). Assim:
– Em (-2\pi,-\pi), f(x)=f(x+2\pi)=f(0\!\!<\!(x+2\pi)\!<\!\pi)=1.
– Em (- \pi,0), f(x)=-1.
– Em (0,\pi), f(x)=1.
– Em (\pi,2\pi), f(x)=f(x-2\pi)=f(-\pi<x-2\pi<0)=-1.
O gráfico é, portanto, uma onda quadrada de amplitude \pm1, com saltos de -1 para +1 em x=0,\pm2\pi e de +1 para -1 em x=\pm\pi.

Passo 3

Como f é ímpar e de período 2\pi, temos
a_0=0,\qquad a_n=0\quad(\forall n\ge1).
O coeficiente b_n é
b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Usando que f é ímpar e \sin(nx) também é ímpar, o produto é par e
b_n=\frac2\pi\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\,\frac{1-(-1)^n}{n} =\begin{cases} \displaystyle \frac{4}{\pi n},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}í

Passo 4

A série de Fourier de f fica (só termos senoidais ímpares):
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{\pi(2k+1)}\, \sin\bigl((2k+1)x\bigr).
Pelo Teorema de Convergência de Fourier, em ponto contínuo a série converge a f(x); em ponto de salto converge à média dos limites laterais. Logo:
\begin{aligned} x=-\pi:&\quad f(-\pi^-)=1,\;f(-\pi^+)= -1\;\Longrightarrow\;0,\\\ x=0:&\quad f(0^-)= -1,\;f(0^+)=1\;\Longrightarrow\;0,\\\ x=\tfrac\pi2:&\quad\text{contínuo, }f(\tfrac\pi2)=1,\\\ x=\pi:&\quad f(\pi^-)=1,\;f(\pi^+)= -1\;\Longrightarrow\;0. \end{aligned}í

Passo 5

Em x=\tfrac\pi2 temos
1 =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{\pi(2k+1)}\, \sin\!\Bigl((2k+1)\tfrac\pi2\Bigr) =\frac{4}{\pi}\Bigl(1-\tfrac13+\tfrac15-\tfrac17+\cdots\Bigr).
Multiplicando por \pi/4 resulta
\frac\pi4 =1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots.

Resposta

(a) O gráfico é uma onda quadrada de amplitude \pm1\) e período \(2\pi\), valendo \(+1\) em \((-2\pi,-\pi)\), \((0,\pi)\), \((2\pi,3\pi)\), e \(-1\) em \((- \pi,0)\), \((\pi,2\pi)\), etc., com saltos em \(x=\pm\pi,0,\pm2\pi,\dots\). (b) \(a_0=0,\;a_n=0,\;b_n=\begin{cases}4/(\pi n),&n\text{ ímpar},\\\ 0,&n\text{ par}.\end{cases}
(c)
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{\pi(2k+1)}\, \sin\bigl((2k+1)x\bigr).
(d) Soma da série: em x=-\pi e x=0 e x=\pi vale 0; em x=\tfrac\pi2 vale 1.
(e) Desse resultado em x=\tfrac\pi2 segue
\displaystyle\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots.

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