(a) Esboce o gráfico da funçăo f(x) no intervalo [-2 \pi, 2 \pi].
(b) Determine os coeficientes da série de Fourier de f(x).
(c) Escreva a série de Fourier de f(x).
(d) Usando o Teorema de Convergência de Fourier, determine o valor da soma da série em:
O enunciado define a função periódica f\) de período \(2\pi\) dada em \([- \pi,\pi]\) por
\[f(x)= \begin{cases} -1, & -\pi < x < 0,\\\ \;\,1, & 0 < x < \pi, \end{cases}
e pede:
(a) o esboço de f\] em \([-2\pi,2\pi],
(b) os coeficientes da série de Fourier,
(c) a própria série,
(d) os valores da soma da série em x=-\pi,0,\tfrac{\pi}{2},\pi,
(e) daí provar a identidade \displaystyle \frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots.
Conteúdo: séries de Fourier de função ímpar em intervalo simétrico, uso das fórmulas
e Teorema de Convergência de Fourier em pontos de descontinuidade (média dos limites laterais).
Passo 2
Para esboçar f em [-2\pi,2\pi] usamos a periodicidade f(x+2\pi)=f(x). Assim:
– Em (-2\pi,-\pi), f(x)=f(x+2\pi)=f(0\!\!<\!(x+2\pi)\!<\!\pi)=1.
– Em (- \pi,0), f(x)=-1.
– Em (0,\pi), f(x)=1.
– Em (\pi,2\pi), f(x)=f(x-2\pi)=f(-\pi<x-2\pi<0)=-1.
O gráfico é, portanto, uma onda quadrada de amplitude \pm1, com saltos de -1 para +1 em x=0,\pm2\pi e de +1 para -1 em x=\pm\pi.
Passo 3
Como f é ímpar e de período 2\pi, temos
a_0=0,\qquad a_n=0\quad(\forall n\ge1).
O coeficiente b_n é
b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Usando que f é ímpar e \sin(nx) também é ímpar, o produto é par e
(a) O gráfico é uma onda quadrada de amplitude \pm1\) e período \(2\pi\), valendo \(+1\) em \((-2\pi,-\pi)\), \((0,\pi)\), \((2\pi,3\pi)\), e \(-1\) em \((- \pi,0)\), \((\pi,2\pi)\), etc., com saltos em \(x=\pm\pi,0,\pm2\pi,\dots\).
(b) \(a_0=0,\;a_n=0,\;b_n=\begin{cases}4/(\pi n),&n\text{ ímpar},\\\ 0,&n\text{ par}.\end{cases}
(d) Soma da série: em x=-\pi e x=0 e x=\pi vale 0; em x=\tfrac\pi2 vale 1.
(e) Desse resultado em x=\tfrac\pi2 segue \displaystyle\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots.