Qual é a área do triângulo determinado por u, v e u-v ?

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo cujos vértices são os pontos dados pelos vetores ,u, ,v e ,u - v no plano.
Conteúdo: geometria vetorial no plano, usando produto vetorial em R^3 (ou determinante 2times 2) para calcular área de triângulo.

Passo 2

Sabemos que, dados três pontos A,B,C no plano, representados por vetores em R^2 (ou R^3 com terceira coordenada zero), a área do triângulo ABC é
Área = tfrac12l|,(B - A)times (C - A)r| Á

Passo 3

Identificamos os vértices do triângulo como
A = u, B = v, C = u - v

Passo 4

Calculamos os dois vetores que formam dois lados do triângulo a partir de A:
B - A = v - u, C - A = (u - v) - u = -,v

Passo 5

Aplicando o produto vetorial em R^3 (ou o determinante em R^2),
(v - u)times(-v) ;=; -l((v - u)times vr) ;=; -l(vtimes v - utimes vr) ;=; utimes v,
pois vtimes v = 0.

Passo 6

Logo, a área do triângulo é
Área = tfrac12,l|,(v - u)times(-v)r| = tfrac12,|,utimes v| Á

Resposta

boxedÁrea = tfrac12,l|det(u,v)r| =tfrac12,|,utimes v|, Á

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